Question

（14分）設函數f(x)＝xn（n≥2，n∈N*）

    （1）若Fn(x)＝f(x－a)＋f(b－x)（0＜a＜x＜b），求Fn(x)的取值范圍；

    （2）若Fn(x)＝f(x－b)－f(x－a)，對任意n≥a (2≥a＞b＞0)，

證明：F(n)≥n(a－b)(n－b)n-2。

 

Answer 1

【答案】

 

（1）［，（b－a）n）

（2）略

【解析】1）∵Fn(x)＝f (x－a)＋f(b－x)＝(x－a)n＋(b－x)n

F(x)＝n(x－a)n-1＋n(b－x)n-1·(－1)＝n［(x－a)n-1－(b－x)n-1］

令F(x)＝0得(x－a)n-1＝(b－x)n-1

∵0＜a＜x＜b　　∴f (x)＝xn(n≥2，n∈N+)為單調增函數

∴x＝

x	(a，)		(，b)
F(x)	－	0	＋
F(x)	單調減	極小值	單調增

∴Fn(x)min＝Fn()＝()n＋()n＝

又Fn(x)在x＝a，x＝b處連續(xù)且Fn(a)＝Fn(b)＝（b－a）n

故≤Fn(x)＜（b－a）n

即Fn(x)的取值范圍為［，（b－a）n）………………………………7分

（2）證明：∵Fn(x)＝f(x－b)－f(x－a)＝(x－b)n－(x－a)n

∴F(x)＝n［(x－b)n-1－(x－a)n-1］

則F(n)＝n［(n－b)n-1－(n－a)n-1］

∵當x≥a＞0時F(x)＞0

∴當x≥a＞0時Fn(x)是關于x的增函數

∴當n≥a時，（n＋1－b）n－（n＋1－a）n＞(n－b)n－(n－a)n＞0

∴F（n＋1）＝（n＋1）［（n＋1－b）n－（n＋1－a）n］＞（n＋1）［(n－b)n－(n－a)n］

＞（n＋1）［(n－b) (n－b)n-1－(n－b) (n－a)n-1］

＝（n＋1）(n－b)［(n－b)n-1－(n－a)n-1］

＝(n－b)·F(n)

而F(n)＞0

于是＞·（n－b）

而F(2)＝2［(2－b)2-1－(2－a)2－1］＝2(a－b)

當n≥3時

F(n)＝·…·F(2)

＞·…·2(a－b) ·(n－b)n-2

＝n(a－b)(n－b)n-2

即F(n) ≥n(a－b)(n－b)n-2…………………………………………………14分