【題目】設集合.若的非空子集中奇數(shù)的個數(shù)大于偶數(shù)的個數(shù)，則稱是“好的”.試求的所有“好的”子集的個數(shù)（答案寫成最簡結果）.

【答案】見解析

【解析】

對分奇、偶兩種情況討論.

（1）當（為非負整數(shù)），這時中奇元素恰比偶元素多一個.設是的任何一個子集，則和中有且只有一個子集是“好的”，從而的“好子集”的個數(shù)為.

（2）當（為正整數(shù)），中奇元素個數(shù)與偶元素個數(shù)相等.定義為“壞子集”為當且僅當中奇元素個數(shù)小于偶元素的個數(shù)，而定義為“中性子集”（包括空集）為當且僅當中奇元素個數(shù)與偶元素個數(shù)相等.

由對稱性知，的“好子集”個數(shù)與“壞子集”的個數(shù)必定相等，所以有

“好子集”個數(shù)

.

其中公式可證明如下：考慮恒等式兩邊中項的系數(shù)，由二項式定理知，左邊式中項的系數(shù)是，而右邊式中的系數(shù)是，故得恒等式.

本題答案可統(tǒng)一地寫為

其中是不大于的最大整數(shù)）.

注：由恒等式可得組合恒等式：

（注意當時，）.這種利用模型來建立和證明組合恒等式的方法（叫做“模型法”）在組合數(shù)學中是很常用的，也很重要，應該熟悉進而掌握它.如果是個奇數(shù)和個偶數(shù)組成，那么的“好子集”個數(shù)又為多少呢？請讀者自己考慮之.

練習冊系列答案
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【題目】已知函數(shù)，是偶函數(shù).

（1）求的值；

（2）若函數(shù)的圖象在直線上方，求的取值范圍；

（3）若函數(shù)，，是否存在實數(shù)使得的最小值為?若存在，求出的值，若不存在，請說明理由.

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（1） 求的值

（2）求在區(qū)間上的最小值.

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①等式對恒成立；

②函數(shù)的值域為；

③若，則一定；

④對任意的，若函數(shù)恒成立，則當時，或．

其中正確的結論是____________（寫出所有正確結論的序號）．

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【題目】某中學從甲、乙兩個班中各選出7名學生參加數(shù)學競賽，他們取得的成績（滿分100分）的莖葉圖如圖所示，其中甲班學生成績的眾數(shù)是83，乙班學生成績的平均數(shù)是86，則的值為（ ）

A.7B.8C.9D.10

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【題目】如圖，在棱長為的正方體中，，分別是和的中點．

（）求異面直線與所成角的余弦值．

（）在棱上是否存在一點，使得二面角的大小為？若存在，求出的長；若不存在，請說明理由．

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【題目】已知拋物線：的焦點為，點為上異于頂點的任意一點，過的直線交于另一點，交軸正半軸于點，且有，當點的橫坐標為3時，為正三角形.

（1）求的方程；

（2）若直線，且和相切于點，試問直線是否過定點，若過定點，求出定點坐標；若不過定點，說明理由.

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【題目】以下四個命題：

①“若，則”的逆否命題為真命題

②“”是“函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)”的充分不必要條件

③若為假命題，則，均為假命題

④對于命題：，，則為：，

其中真命題的個數(shù)是（ ）

A.1個B.2個C.3個D.4個

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