已知雙曲線的右焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的動直線與雙曲線相交與A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C的坐標(biāo)是（1，0）.

（Ｉ）證明為常數(shù)；

（Ⅱ）若動點(diǎn)（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），求點(diǎn)的軌跡方程.

解：由條件知，設(shè)，．

（I）當(dāng)與軸垂直時，可設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，

此時=(1,)?(1,-)=-1

當(dāng)不與軸垂直時，設(shè)直線的方程是．

代入，有．

則是上述方程的兩個實(shí)根，所以，，

于是=

．

綜上所述，為常數(shù)．

（II）解法一：設(shè)，則，，

，，由得：

即

于是的中點(diǎn)坐標(biāo)為．

當(dāng)不與軸垂直時，，即．

又因?yàn)?sub>兩點(diǎn)在雙曲線上，所以，，兩式相減得

，即．

將代入上式，化簡得．

當(dāng)與軸垂直時，，求得，也滿足上述方程．

所以點(diǎn)的軌跡方程是．

解法二：同解法一得……………………………………①

當(dāng)不與軸垂直時，由（I） 有．…………………②

．………………………③

由①②③得．…………………………………………………④

．……………………………………………………………………⑤

當(dāng)時，，由④⑤得，，將其代入⑤有

．整理得．

當(dāng)時，點(diǎn)的坐標(biāo)為，滿足上述方程．

當(dāng)與軸垂直時，，求得，也滿足上述方程．

故點(diǎn)的軌跡方程是．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知雙曲線的右焦點(diǎn)為（5，0），一條漸近線方程為2x-y=0，則此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

下列結(jié)論：
①當(dāng)a為任意實(shí)數(shù)時，直線（a-1）x-y+2a+1=0恒過定點(diǎn)P，則過點(diǎn)P且焦點(diǎn)在y軸上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是x2=
4
3
y；
②已知雙曲線的右焦點(diǎn)為（5，0），一條漸近線方程為2x-y=0，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是
x2
5
-
y2
20
=1；
③拋物線y=ax2（a≠0）的準(zhǔn)線方程為y=-
1
4a
；
④已知雙曲線
x2
4
+
y2
m
=1，其離心率e∈（1，2），則m的取值范圍是（-12，0）．
其中所有正確結(jié)論的個數(shù)是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知雙曲線的右焦點(diǎn)為F（3，0），且以直線x=1為右準(zhǔn)線．求雙曲線方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

給出下列四個命題，其中所有正確命題的序號為
①②
①②
．
①當(dāng)a為任意實(shí)數(shù)時，直線（a-1）x-y+2a+1=0恒過定點(diǎn)P（-2，3）；
②已知雙曲線的右焦點(diǎn)為（5，0），一條漸近線方程為2x-y=0，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是
x2
5
-
y2
20
=1；
③拋物線y=ax2（a≠0）的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（
1
4a
，0）；
④曲線C：
x2
4-k
+
y2
k-1
=1不可能表示橢圓．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知雙曲線的右焦點(diǎn)為F，過F作雙曲線一條漸近線的垂線，垂足為A，過A作x軸的垂線，B為垂足，且
OF
=3
OB
（O為原點(diǎn)），則此雙曲線的離心率為（　�。�

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