Question

某校為“市高中數學競賽”進行選拔性測試，規(guī)定：成績大于或等于90分的有參賽資格，90分以下（不包括90分）的則被淘汰．現有100人參加測試，測試成績的頻率分布直方圖如圖．

（1）求獲得參賽資格的人數；
（2）根據頻率分布直方圖，估算這100名學生測試的平均成績；
（3）現在成績[110，130）、[130，150]（單位：分）的同學中采用分層抽樣機抽取5人，按成績從低到高編號為A₁，A₂，A₃，A₄，A₅，從這5人中任選2人，求至少有1人的成績在[130，150]的概率．

Answer 1

解：（1）由頻率分布直方圖得，獲得參賽資格的人數為：
100×（0.0050+0.0045+0.0030）×20=25人．----------------（3分）
（2）設100名學生的平均成績?yōu)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/1918.png' />，則
=[×0.0065+×0.0140+×0.0170+×0.0050+×0.0045+×0.0030]×20=78．（4分）．------------------------------------（6分）
（3）成績在[110，130）的人數為100×0.0045×20=9人，成績在[130，150）的人數為100×0.0030×20=6人，
所以應從成績在[130，150）中抽取×5=2人，從成績在[110，130）中抽取×5=3人，
故A₄，A₅∈[130，150），----（8分）
從A₁，A₂，A₃，A₄，A₅中任取兩人，共有（A₁，A₂），（A₁，A₃），（A₁，A₄），（A₁，A₅），（A₂，A₃），（A₂，A₄），（A₂，A₅），（A₃，A₄），（A₃，A₅），（A₄，A₅）十種不同的情況，-----------（10分）
其中含有A₄，A₅的共有7種，
所以至少有1人的成績在[130，150）的概率為．-----（12分）
分析：（1）求出滿足參賽資格的區(qū)域包含的長方形的縱坐標的和乘以組距得到分布在該區(qū)域的頻率，再乘以樣本容量求出獲得參賽資格的人數．
（2）由頻率分布直方圖求數據的平均數，是各個矩形寬的中點橫坐標乘以各個矩形的縱坐標的和，在乘以組距即可．
（3）本題是一個等可能事件的概率，最后兩組共有15名學生，用分層抽樣在15名學生中抽5名學生，最后兩組分別抽取2人，3人，列舉出事件發(fā)生所包含的事件數和滿足條件的事件數，根據等可能事件的概率公式得到結果．
點評：本題考查頻率分布表，考查等可能事件的概率，是一個概率與統(tǒng)計的綜合題目，題目雖然比較麻煩，但是一個能夠得分的題目．