Question

如圖，O為坐標原點，點F為拋物線C₁：x²=2py（p＞0）的焦點，且拋物線C₁上點P處的切線與圓C₂：x²+y²=1相切于點Q．
（Ⅰ）當直線PQ的方程為x-y-

2

=0時，求拋物線C₁的方程；
（Ⅱ）當正數(shù)p變化時，記S₁，S₂分別為△FPQ，△FOQ的面積，求

S1

S2

的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設點P（x₀，

x02

2p

），代入直線PQ的方程得一方程，再根據拋物線在P處切線斜率為1列一方程，解方程組即可求得p值；
（Ⅱ）易表示出點p處切線方程，據線圓相切得一方程，再與圓聯(lián)立方程組可表示出Q坐標，據弦長公式可表示出|PQ|，利用點到直線的距離公式可表示出點F到切線PQ的距離d，則S₁可表示，又S2=

1

2

|OF||xQ|=

p

2|x0|

，所以

S1

S2

可表示為關于x₀的函數(shù)，據函數(shù)結構特點利用基本不等式即可求得其最小值．

解答：解：（Ⅰ）設點P（x₀，

x02

2p

），由x²=2py（p＞0）得，y=

x2

2p

，求導y′=

x

p

，
因為直線PQ的斜率為1，所以

x0

p

=1且x₀-

x02

2p

-

2

=0，解得p=2

2

，
所以拋物線C₁ 的方程為x2=4

2

y．
（Ⅱ）因為點P處的切線方程為：y-

x02

2p

=

x0

p

（x-x₀），即2x₀x-2py-x02=0，
根據切線與圓切，得d=r，即

|-x02|

4x02+4p2

=1，化簡得x04=4x02+4p2，
由方程組

2x0x-2py-x02=0 x2+y2=1 x04-4x02-4p2=0

，解得Q（

2

x0

，

4-x02

2p

），
所以|PQ|=

1+k2

|x_P-x_Q|=

1+ x02 p2

|x0-

2

x0

|=

p2+x02

p

|

x02-2

x0

|，
點F（0，

p

2

）到切線PQ的距離是d=

|-p2-x02|

4x02+4p2

=

1

2

x02+p2

，
所以S1=

1

2

|PQ|•d=

1

2

×

p2+x02

p

|

x02-2

x0

|×

1

2

x02+p2

=

x02+p2

4p

|

x02-2

x0

|，
S2=

1

2

|OF||xQ|=

p

2|x0|

，
而由x04=4x02+4p2知，4p²=x04-4x02＞0，得|x₀|＞2，
所以

S1

S2

=

x02+p2

4p

|

x02-2

x0

|×

2|x0|

p

=

(x02+p2)(x02-2)

2p2

=

(4x02+x04-4x02)(x02-2)

2(x04-4x02)

=

x02(x02-2)

2(x02-4)

=

x02-4

2

+

4

x02-4

+3≥2

2

+3，當且僅當

x02-4

2

=

4

x02-4

時取“=”號，即x02=4+2

2

，此時，p=

2+2 2

．
所以

S1

S2

的最小值為2

2

+3．

點評：本題主要考查拋物線幾何性質、直線與拋物線的位置關系，同時考查解析幾何的基本思想方法和運算求解能力，綜合性強，難度大．