Question

解答題：解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．

已知m∈R，設P：x₁和x₂是方程x²－ax－2＝0的兩個根，不等式|m－5|≤|x₁－x₂||對任意實數(shù)a∈[1，2]恒成立：Q：函數(shù)－∞，∞)上有極值．求使“P且Q”為真命題的取值范圍．

Answer 1

答案：
解析：

解：由題設

當時，的最小值為3．

要使|恒成立

只須≤3

即2≤m≤8……………………………………………………(3分)

由已知，得

此一元二次方程的判斷式………(5分)

若，則有兩個相等的實根，且的符號如下：

因此，不是函數(shù)的極值……………………………………(7分)

若，則＝0有兩個不等的實根和，且的符號如下：

因此，函數(shù)在處取得極大值，在處取得極小值．……9分

綜上所述，當且僅當△＞0時，函數(shù)在(－∞，＋∞)上有極值．

由△＝4m²－12m－16＞0，得m＜－1或m＞4

即當m＜－1或m＞4時，Q正確……………………11分

綜上，當時，命題“P且Q”為真命題．………………12分