Question

設函數(shù)f（x）=x²﹣2（﹣1）^klnx（k∈N*）．f'（x）是f（x）的導函數(shù)．
（1）當k為偶數(shù)時，正項數(shù)列{a_n}滿足：．證明：數(shù)列中任意不同三項不能構成等差數(shù)列；
（2）當k為奇數(shù)時，證明：當x＞0時，對任意正整數(shù)n都有[f'（x）]ⁿ﹣2^n﹣1f'（x）≥2ⁿ（2ⁿ﹣2）成立．

Answer 1

證明：（1）當k為偶數(shù)時，f（x）=x²﹣2lnx，
f'（x）=2x﹣=，f'（a_n）=
由已知，得出2（﹣1）=﹣3，
∴+1=2（+1），數(shù)列{+1}是以2為公比，以=2為首項的等比數(shù)列．
∴+1=22n﹣1=2n，=2n﹣1，
假設數(shù)列中存在不同三項構成等差數(shù)列，
不妨設r＜s＜t，則，
即2（2^s﹣1）=2^r﹣1+2^t﹣1，2^s+1=2^r+2^t，2^s﹣r+1=1+2^t﹣r又s﹣r+1＞0，t﹣r＞0，
∴2^s﹣r+1為偶數(shù)，1+2^t﹣r為奇數(shù)，矛盾．故假設不成立．
因此數(shù)列中任意不同三項不能構成等差數(shù)列．
（2）當k為奇數(shù)時，f（x）=x²+2lnx，f'（x）=2x+=2（），
即證﹣2^n﹣12（）≥2ⁿ（2ⁿ﹣2）
即證﹣（）≥2ⁿ﹣2．
數(shù)學歸納法
當n=1時，左邊=0，右邊=0，不等式成立．
設當n=k（k≥1）時成立．即﹣（）≥2^k﹣2成立，
則當n=k+1時，﹣（）=﹣（）
≥[（2^k﹣2）+（）]﹣（）
=（2^k﹣2）++x^k﹣1+﹣（）
=（2^k﹣2）+x^k﹣1+
≥（2^k﹣2）2+2
=2^k+1﹣2
即當n=k+1時不等式成立．
綜上所述，對任意正整數(shù)n不等式成立．