Question

設(shè)直線l與球O有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P，從直線l出發(fā)的兩個(gè)半平面α，β截球O的兩個(gè)截面圓的半徑分別為1和，二面角α-l-β的平面角為，則球O的表面積為

1. A.
   4π
2. B.
   16π
3. C.
   28π
4. D.
   112π

Answer 1

B
分析：設(shè)兩個(gè)半平面α，β截球O的兩個(gè)截面圓的圓心分別為O₁，0₂，根據(jù)球的截面圓性質(zhì)及球的切線性質(zhì)得OO₁⊥α，OO₂⊥β．OP⊥l，繼而四邊形O₁0₂OP為矩形，得出O₁P²+O₂P²=OP²=R²，再計(jì)算球O的表面積即可．
解答：解：設(shè)兩個(gè)半平面α，β截球O的兩個(gè)截面圓的圓心分別為O₁，0₂，連接O₁P，O₂P，OP，如圖所示
由球的截面圓性質(zhì)及球的切線性質(zhì)得OO₁⊥α，OO₂⊥β．OP⊥l，且O₁P=1，O₂P=，
∴l(xiāng)⊥面OO₁P，l⊥面OO₂P，∴O₁，0₂，O，P四點(diǎn)共面，
∠O₁PO₂ 為二面角α-l-β的平面角，∠O₁PO₂=，四邊形O₁0₂OP為矩形．
∴O₁P²+O₂P²=OP²=R²，得R²=4，
∴球O的表面積S=4πR²=16π．
故選B．
點(diǎn)評：本題考查了二面角的度量，球的截面圓性質(zhì)及表面積計(jì)算．本題得出O₁P²+O₂P²=OP²=R²是關(guān)鍵．