Question

已知各項均為正數(shù)的數(shù)列滿足：。
（1）求的通項公式
（2）當時，求證：

Answer 1

（1），猜測：。用數(shù)學(xué)歸納法證明。
（2）即證：

試題分析：（1），猜測：。下用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①當，猜想成立；
②假設(shè)當時猜想成立，即，
由條件，
，
兩式相減得：，則當時，
，
時，猜想也成立。
故對一切的成立。
（2），即證：
對，令（），則
，
顯然，，所以，
所以，在上單調(diào)遞減．
由，得，即．
所以，．       
所以


．  得證。
點評：難題，歸納推理的一般步驟是：（1）通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；（2）從已知的相同性質(zhì)中推出一個明確表達的一般性命題。歸納推理問題，往往與數(shù)列知識相結(jié)合，需要綜合應(yīng)用數(shù)列的通項公式、求和公式等求解。本題利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，對數(shù)學(xué)式子變形能力要求較高。