Question

如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面是邊長為2的菱形，且∠BAD＝120°，且PA⊥平面ABCD，PA＝，M，N分別為PB，PD的中點(diǎn)．

(1)證明：MN∥平面ABCD；
(2) 過點(diǎn)A作AQ⊥PC，垂足為點(diǎn)Q，求二面角A－MN－Q的平面角的余弦值．

Answer 1

(1)只需證 MN∥BD；(2)。

試題分析：(1)如圖，連接BD.∵M(jìn)，N分別為PB，PD的中點(diǎn)，∴在△PBD中，MN∥BD.
又MN?平面ABCD，∴MN∥平面ABCD.
(2)如圖建系：A(0,0,0)，P(0,0,2)，M，N(，0，)，C(，3,0)．
設(shè)Q(x，y，z)，則C＝(x－，y－3，z)，C＝(－，－3，2)．
∵C＝λC＝(－λ，－3λ，2λ)，∴Q(－λ，3－3λ，2λ)．
由A⊥C⇒A·C＝0，得λ＝.即：Q
對(duì)于平面AMN：設(shè)其法向量為n＝(a，b，c)．
∵A＝，A＝(，0，)．
則⇒⇒
∴n＝.
同理對(duì)于平面QMN，得其法向量為v＝
記所求二面角A－MN－Q的平面角大小為θ，則cosθ＝.
∴所求二面角A－MN－Q的平面角的余弦值為.
點(diǎn)評(píng)：二面角的求法是立體幾何中的一個(gè)難點(diǎn)。我們解決此類問題常用的方法有兩種：①綜合法，綜合法的一般步驟是：一作二說三求。②向量法，運(yùn)用向量法求二面角應(yīng)注意的是計(jì)算。很多同學(xué)都會(huì)應(yīng)用向量法求二面角，但結(jié)果往往求不對(duì)，出現(xiàn)的問題就是計(jì)算錯(cuò)誤。