Question

某公司擬制造如圖所示的工件（長(zhǎng)度單位：米），要求工件的體積為10立方米，其中工件的中間為長(zhǎng)方體，上下兩端為相同的正四棱錐，其底面邊長(zhǎng)AB=a，高PO=．假設(shè)工件的制造費(fèi)用僅與其表面積有關(guān)，已知正四棱柱側(cè)面每平方米制造費(fèi)用為2千元，正四棱錐側(cè)面每平方米建造費(fèi)用為4千元．設(shè)工件的制造費(fèi)用為y千元．
（1）寫(xiě)出y關(guān)于a的函數(shù)表達(dá)式，并求該函數(shù)的定義域；
（2）求該工件的制造費(fèi)用最小時(shí)a的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由長(zhǎng)方體和四棱錐的體積的表達(dá)式，得到a和b的關(guān)系．再由柱和錐體的表面積公式建立關(guān)系式，將表達(dá)式中的b用a表示．并注意到寫(xiě)定義域時(shí)，利用b＞0，求出自變量a的范圍．
（2）用導(dǎo)數(shù)的知識(shí)解決，注意到定義域的限制，確定函數(shù)f（x）在定義域上的單調(diào)性，從而可求函數(shù)的最大值．
解答：解：（1）AB=a，PO=，∴斜高為．…（2分）
∴一個(gè)正四棱錐的側(cè)面積為．
一個(gè)正四棱錐的體積為．               …（4分）
令長(zhǎng)方體的高為b，則．∴．  …（6分）
由b＞0，得．                               …（8分），定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131103173251023171660/SYS201311031732510231716018_DA/8.png">．…（11分）

（2），令y'=0，得．                 …（13分）
當(dāng)，y'＜0，y為a的減函數(shù)；
當(dāng)，y'＞0，y為a的增函數(shù)，…（15分）
（答）該工件的制造費(fèi)用最小時(shí)，a的值為（米）．         …（16分）
點(diǎn)評(píng)：利用導(dǎo)數(shù)的知識(shí)研究函數(shù)單調(diào)性，函數(shù)最值問(wèn)題是高考經(jīng)�？疾榈闹�識(shí)點(diǎn)，同時(shí)考查空間想象力也蘊(yùn)含在其中．