Question

已知圓心為C的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-3，0）和點(diǎn)B（1，0）兩點(diǎn)，且圓心C在直線(xiàn)y=x+1上．
（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）已知線(xiàn)段MN的端點(diǎn)M的坐標(biāo)（3，4），另一端點(diǎn)N在圓C上運(yùn)動(dòng)，求線(xiàn)段MN的中點(diǎn)G的軌跡方程；
（3）是否存在斜率為1的直線(xiàn)l，使l被圓C截得的弦PQ，且以PQ為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)？若存在求出直線(xiàn)l的方程，若不存在說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，由題意列出三個(gè)方程組成方程組，利用消元法求解；
（2）設(shè)出點(diǎn)G、N的坐標(biāo)，再由中點(diǎn)坐標(biāo)公式用G點(diǎn)的坐標(biāo)表示N點(diǎn)的坐標(biāo)，再代入圓的方程，整理后得到點(diǎn)G軌跡方程；
（3）假設(shè)存在滿(mǎn)足條件的直線(xiàn)l并設(shè)出其方程和點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)，聯(lián)立圓的方程和直線(xiàn)方程消元后得到一元二次方程，再由韋達(dá)定理得到兩根的乘積和判別式的符號(hào)求出b的范圍，由OP⊥OQ列出關(guān)系式，求出b的值注意驗(yàn)證．
解答：解：（1）設(shè)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（x-a）²+（y-b）²=r²，
由題意列方程組，，解得，a=-1，b=0，r=2
∴所求圓的方程為：（x+1）²+y²=4
（2）設(shè)N（x₁，y₁），G（x，y），
∵線(xiàn)段MN的中點(diǎn)是G，
∴由中點(diǎn)公式得
∵N在圓C上，∴（2x-2）²+（2y-4）²=4，
即（x-1）²+（y-2）²=1，
∴點(diǎn)G的軌跡方程是（x-1）²+（y-2）²=1．
（3）設(shè)存在這樣的直線(xiàn)l，并設(shè)直線(xiàn)方程為：y=x+b
由①
且
同理可得：②；
∵以PQ為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)O，
∴OP⊥OQ，即x₁x₂+y₁y₂=0，把①②代入化簡(jiǎn)得，b²-b-3=0
解得，；
∴經(jīng)檢驗(yàn)存在兩條這樣的直線(xiàn)l：
點(diǎn)評(píng)：本題是直線(xiàn)與圓的方程綜合性題，考查了用待定系數(shù)法求圓的方程，用代入法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；對(duì)于存在性的處理方法，先假設(shè)存在再由題意用設(shè)而不求思想和韋達(dá)定理列出關(guān)系式，注意驗(yàn)證所求值的范圍．