Question

【題目】在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點(diǎn)，過E點(diǎn)做EF⊥PB交PB于點(diǎn)F．求證：
（1）PA∥平面DEB；
（2）PB⊥平面DEF．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接AC，AC交BD于O．連接EO．

∵底面ABCD是正方形，

∴點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)．

∴在△PAC中，EO是中位線，

∴PA∥EO，

∵EO平面EDB，且PA平面EDB，

∴PA∥平面EDB．

（2）解：∵PD⊥底面ABCD，且DC底面ABCD，

∴PD⊥BC．

∵底面ABCD是正方形，

∴DC⊥BC，可得：BC⊥平面PDC．

∵DE平面PDC，

∴BC⊥DE．

又∵PD=DC，E是PC的中點(diǎn)，∴DE⊥PC．∴DE⊥平面PBC．

∵PB平面PBC，∴DE⊥PB．

又∵EF⊥PB，且DE∩EF=E，

∴PB⊥平面EFD．

【解析】（1）由題意連接AC，AC交BD于O，連接EO，則EO是中位線，證出PA∥EO，由線面平行的判定定理知PA∥平面EDB；（2）由PD⊥底面ABCD得PD⊥DC，再由DC⊥BC證出BC⊥平面PDC，即得BC⊥DE，再由ABCD是正方形證出DE⊥平面PBC，則有DE⊥PB，再由條件證出PB⊥平面EFD．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用直線與平面平行的判定和直線與平面垂直的判定的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行；一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點(diǎn)：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．