Question

已知函數(shù)且的圖象經(jīng)過點(diǎn)．

（1）求函數(shù)的解析式；

（2）設(shè)，用函數(shù)單調(diào)性的定義證明：函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減；

（3）解不等式：．

 

Answer 1

（1），（2）詳見解析，（3）或.

【解析】

試題分析：（1）求函數(shù)的解析式,只需確定的值即可，由函數(shù)且的圖象經(jīng)過點(diǎn)，得，再由得，（2）用函數(shù)單調(diào)性的定義證明單調(diào)性，一設(shè)上的任意兩個(gè)值，二作差，三因式分解確定符號(hào)，（3）解不等式，一可代入解析式，轉(zhuǎn)化為解對(duì)數(shù)不等式，需注意不等號(hào)方向及真數(shù)大于零隱含條件，二利用函數(shù)單調(diào)性，去“”，注意定義域.

試題解析：（1），解得： ∵ 且∴； 3分

（2）設(shè)、為上的任意兩個(gè)值，且，則

6分

，在區(qū)間上單調(diào)遞減． 8分

（3）方法（一）：

由，解得：，即函數(shù)的定義域?yàn)?/span>； 10分

先研究函數(shù)在上的單調(diào)性．

可運(yùn)用函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，證明過程略．

或設(shè)、為上的任意兩個(gè)值，且，

由（2）得： ，即

在區(qū)間上單調(diào)遞減． 12分

再利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式：

且在上為單調(diào)減函數(shù)．， 13分

即，解得：

． 15分

方法（二）： 10分

由得：或；由得：， 13分

． 15分

考點(diǎn)：函數(shù)解析式，函數(shù)單調(diào)性定義，解不等式.