有人玩擲硬幣走跳跳棋的游戲,已知硬幣出現(xiàn)正反面的概率都是0.5.棋盤上標(biāo)有第0站、第1站、第2站、…第10站.一枚棋子開始在第0站,棋手每擲一次硬幣,棋子向前跳動一次. 若擲出正面,棋向前跳一站(從k到k+1);若擲出反面,棋子向前跳二站(從k到k+2),直到棋子跳到第9站(勝利大本營)或跳到第10站(失敗集中營)時,該游戲結(jié)束.那么棋子跳到第10站的概率為________.
分析:設(shè)棋子跳到第n站的概率為P(n),將棋子跳到第n站的事件分為兩種情況:①由第(n-1)站跳到,即第(n-1)站時擲出正面,跳動一次到第n站;②由第(n-2)站跳到,即第(n-2)站時擲出反面,跳動二次到第n站.據(jù)此得到遞推關(guān)系式:P(n)=
P(n-1)+
P(n-2),然后變形得到數(shù)列{P(n+1)-P(n)}是公比為-
的等比數(shù)列,最后用累加的方法結(jié)合等比數(shù)列的求和公式,即可算出棋子跳到第10站的概率.
解答:設(shè)棋子跳到第n站的概率為P(n),
根據(jù)題意,棋子要到第n站,有兩種情況,(2≤n≤10)
①由第(n-1)站跳到,即第(n-1)站時擲出正面,其概率為
P(n-1),
②由第(n-2)站跳到,即第(n-2)站時擲出反面,其概率為
P(n-2),
則P(n)=
P(n-1)+
P(n-2),
∴P(n+1)=
P(n)+
P(n-1),
兩邊都減去P(n),得P(n+1)-P(n)=-
[P(n)-P(n-1)],(1≤n≤9,n∈N),
故數(shù)列{P(n+1)-P(n)}是等比數(shù)列,它的公比為-
,
∵P(1)=
,P(2)=
×
+
=
,
首項為 P(2)-P(1)=
=
…(1)
第二項為 P(3)-P(2)=-
[P(2)-P(1)]=-
=
…(2)
第三項為 P(4)-P(3)=-
[P(3)-P(2)]=
=
…(3)
…
第九項為 P(10)-P(9)=-
[P(9)-P(8)]=
=
…(9)
將此九個式累加,得P(10)-P(1)=[
+
+
+…+
]=
=
∴P(10)=P(1)+
=
+
=
故答案為:
點評:本題借助于一個隨機事件的概率問題,著重考查了等可能事件的概率公式和等比數(shù)列的通項與求和等知識點,屬于難題.