Question

(本小題滿分12分) 設(shè){a_n}是等差數(shù)列，{b_n}是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，且a₁=b₁=1，a₃+b₅=21，a₅+b₃=13.

(1)求{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；         

(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和S_n.

 

Answer 1

【答案】

（1) a_n=2n－1 ，b_n=2^n-1.(2)

【解析】(1) 設(shè)等差數(shù)列的公差為d  等比數(shù)列的公比為q，然后根據(jù)a₁=b₁=1，a₃+b₅=21，a₅+b₃=13.可建立關(guān)于d和q的兩個(gè)方程，求出d,q的值，從而得到{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式.

(2)由（1）知,顯然要采用錯(cuò)位相減的方法求和.

（1)設(shè)等差數(shù)列的公差為d  等比數(shù)列的公比為q，

由題意得 1+2d+q⁴=21，     ①    1+4d+q²=13，        ②

①×2－②得，2q⁴－q²－28=0，解得q²=4  又由題意，知{b_n}各項(xiàng)為正，

所以q=2，代入②得d=2， 所以a_n=2n－1 ，b_n=2^n-1.

(2)由(1)可知，，

又，             (1)

，     (2)

(2)－(1)得  

，∴