Question

已知點(diǎn)列B₁（1，y₁）、B₂（2，y₂）、…、B_n（n，y_n）（n∈N）順次為一次函數(shù)y=

1

4

x+

1

12

圖象上的點(diǎn)，點(diǎn)列A₁（x₁，0）、A₂（x₂，0）、…、A_n（x_n，0）（n∈N）順次為x軸正半軸上的點(diǎn)，其中x₁=a（0＜a＜1），對于任意n∈N，點(diǎn)A_n、B_n、A_n+1構(gòu)成以
B_n為頂點(diǎn)的等腰三角形．
（1）求{y_n}的通項(xiàng)公式，且證明{y_n}是等差數(shù)列；
（2）試判斷x_n+2-x_n是否為同一常數(shù)（不必證明），并求出數(shù)列{x_n}的通項(xiàng)公式；
（3）在上述等腰三角形A_nB_nA_n+1中，是否存在直角三角形？若有，求出此時a值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）因?yàn)閥_n=

1

4

n+

1

12

（n∈N），所以y_n+1-y_n=

1

4

，得到{y_n}為等差數(shù)列；
（2）因?yàn)閤_n+1-x_n=2為常數(shù)，所以x₁，x₃，x₅，，x_2n-1及x₂，x₄，x₆，x_2n都是公差為2的等差數(shù)列，分別求出通項(xiàng)公式即可；
（3）存在，要使A_nB_nA_n+1為直角三形，則|A_nA_n+1|=2，分n為奇數(shù)和偶數(shù)代入特值可求出a的值．

解答：解：（1）y_n=

1

4

n+

1

12

（n?N），y_n+1-y_n=

1

4

，∴{y_n}為等差數(shù)列
（2）x_n+1-x_n=2為常數(shù)（6?）∴x₁，x₃，x₅，…，x_2n-1及x₂，x₄，x₆，x_2n都是公差為2的等差數(shù)列，
∴x_2n-1=x₁+2（n-1）=2n-2+a，x_2n=x₂+2（n-1）=2-a+2n-2=2n-a，
∴x_n=

n+a-1 當(dāng)n為奇數(shù) n-a 當(dāng)n為偶數(shù)

（3）要使A_nB_nA_n+1為直角三形，則|A_nA_n+1|=2，yBn=2（

n

4

+

1

12

），x_n+1-x_n=2（

n

4

+

1

12

）
當(dāng)n為奇數(shù)時，x_n+1=n+1-a，x_n=n+a-1，∴x_n+1-x_n=2（1-a）．
2（1-a）=2（

n

4

+

1

12

）?a=

11

12

-

n

4

（n為奇數(shù)，0＜a＜1）（*）
取n=1，得a=

2

3

，取n=3，得a=

1

6

，若n≥5，則（*）無解；
當(dāng)偶數(shù)時，x_n+1=n+a，x_n=n-a，
∴x_n+1-x_n=2a．
∴2a=2（

n

4

+

1

12

），a=

n

4

+

1

12

（n為偶數(shù)，0＜a＜1），取n=2，得a=

7

12

，
若n≥4，則（*）無解．
綜上可知，存在直角三形，此時a的值為

2

3

、

1

6

、

7

12

．

點(diǎn)評：考查學(xué)生求等差數(shù)列通項(xiàng)公式的能力，靈活運(yùn)用等差數(shù)列性質(zhì)的能力，以及利用數(shù)列遞推式求數(shù)列通項(xiàng)的能力．