Question

已知F₁，F(xiàn)₂為雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點．
（Ⅰ）若點P為雙曲線與圓x²+y²=a²+b²的一個交點，且滿足|PF₁|=2|PF₂|，求此雙曲線的離心率；
（Ⅱ）設雙曲線的漸近線方程為y=±x，F(xiàn)₂到漸近線的距離是

2

，過F₂的直線交雙曲線于A，B兩點，且以AB為直徑的圓與y軸相切，求線段AB的長．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由雙曲線的定義及|PF₁|=2|PF₂|求出|PF₁|和|PF₂|，給出的圓的半徑為雙曲線的半焦距，說明△F₁PF₂為直角三角形，利用勾股定理得關(guān)系式可求雙曲線的離心率；
（Ⅱ）由雙曲線的漸近線方程為y=±x，說明雙曲線為等軸雙曲線，再由F₂到漸近線的距離是

2

，結(jié)合a²+b²=c²即可求出雙曲線方程，利用雙曲線的焦半徑公式求出A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）到F₂的距離，根據(jù)以AB為直徑的圓與y軸相切，得到

x1+x2

2

=

1

2

|AB|=

1

2

(|AF2|+|BF2|)，代入坐標后整理即可得到線段AB的長．

解答：解：（Ⅰ）由題設得：

|PF1|=2|PF2| |PF1|-|PF2|=2a

，得|PF₁|=4a，|PF₂|=2a，
因為點P為雙曲線與圓x²+y²=a²+b²=c²的一個交點，∴PF₁⊥PF₂，
∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，則16a²+4a²=4c²，即5a²=c²，故離心率e=

c

a

=

5

；
（Ⅱ）∵雙曲線的漸近線方程為y=±x，F(xiàn)₂到漸近線的距離是

2

，
∴

c

2

=

2

，所以c=2，又

b

a

=1，a²+b²=c²，得a=b=

2

，
所以雙曲線方程為x²-y²=2，F(xiàn)₂（2，0），e=

2

．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由雙曲線的焦半徑公式得：|AF2|=ex1-a=

2

x1-

2

，
|BF2|=ex2-a=

2

x2-

2

，
∵以AB為直徑的圓與y軸相切，∴

x1+x2

2

=

1

2

|AB|=

1

2

(|AF2|+|BF2|)．
∴x1+x2=

2

(x1+x2)-2

2

，則x1+x2=

2 2

2 -1

=4+2

2

，
所以|AB|=x1+x2=4+2

2

．

點評：本題考查雙曲線的基本性質(zhì)、雙曲線方程的求法以及直線與雙曲線的綜合問題．直線與圓錐曲線聯(lián)系在一起的綜合題在高考中多以高檔題、壓軸題出現(xiàn)，主要涉及位置關(guān)系的判定，弦長問題、最值問題、對稱問題、軌跡問題等．突出考查了數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)與方程、等價轉(zhuǎn)化等數(shù)學思想方法．屬難題．