Question

（2012•江蘇三模）在一個半徑為1的半球材料中截取三個高度均為h的圓柱，其軸截面如圖所示，設三個圓柱體積之和為V=f（h）．
（1）求f（h）的表達式，并寫出h的取值范圍是；
（2）求三個圓柱體積之和V的最大值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)根據(jù)球的截面圓性質(zhì)，得自下而上三個圓柱的底面半徑r₁、r₂、r₃關于h的函數(shù)關系式，再結(jié)合圓柱的體積公式，可得三個圓柱體積之和為V=f（h）的表達式．根據(jù)三個圓柱高度之積小于球半徑，得到h的取值范圍．
（2）利用導數(shù)工具，研究f（h）的單調(diào)性，可得f（h）在(0，  

14

14

)上為增函數(shù)，在(

14

14

，  

1

3

)上為減函數(shù)，從而得到f（h）的最大值為f(

14

14

)=

14 π

7

．

解答：解：（1）設自下而上三個圓柱的底面半徑分別為r₁、r₂、r₃，
根據(jù)球的截面圓性質(zhì)，可得r1=

1-h2

，
r2=

1-(2h)2

=

1-4h2

，r3=

1-(3h)2

=

1-9h2

． …（3分）
它們的高均為h，所以體積和等于
V=f(h)=π

r

2 1

h+π

r

2 2

h+π

r

2 3

h
=π[（1-h²）+（1-4h²）+（1-9h²）]h=π（3h-14h³）（6分）
因為三個圓柱高度之積小于球半徑，所以0＜3h＜1，得h的取值范圍是(0，  

1

3

)；  …（7分）
（2）由f（h）=π（3h-14h³）得f'（h）=π（3-42h²）=3π（1-14h²），…（9分）
又∵h∈(0，  

1

3

)，
∴h∈(0，  

14

14

)時，f'（h）＞0；h∈(

14

14

，  

1

3

)時，f'（h）＞0．（11分）
可得f（h）在(0，  

14

14

)上為增函數(shù)，在(

14

14

，  

1

3

)上為減函數(shù)，
因此，當h=

14

14

時，f（h）取最大值，這個最大值為f(

14

14

)=

14 π

7

．  …（13分）
答：三個圓柱體積和V的最大值為

14 π

7

． …（14分）

點評：本題以導數(shù)為工具，求三個圓柱體積之和的最大值，著重考查了球的截面圓性質(zhì)、圓柱體積公式和利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性等知識，屬于中檔題．