Question

（2008•臨沂二模）某精密配件廠準備生產(chǎn)甲、乙、丙三件不同的精密配件，制作過程都必須先后經(jīng)過兩次打磨，當?shù)谝淮未蚰ズ细窈蠓娇蛇M入第二次打磨，兩次打磨過程相互獨立．據(jù)該廠現(xiàn)有的技術(shù)水平，經(jīng)過一次打磨后，甲、乙、丙三件配件合格的概率依次為0.5，0.4，p；經(jīng)過第二次打磨后，甲、乙、丙三件產(chǎn)品合格的概率依次為0.6，0.75，0.5．若第一次打磨后恰有一件產(chǎn)品合格的概率為0.38．
（I）求p的值；
（Ⅱ）若經(jīng)過前后兩次打磨后，不合格配件的個數(shù)為ξ，求隨機變量ξ的期望．

Answer 1

分析：（I）記甲、乙、丙經(jīng)過第一次打磨后合格為事件A₁、A₂、A₃．設E表示第一次打磨后恰有一件合格，P(E)=P(A1•

.

A2

•

.

A3

)+P(

.

A1

•A2•

.

A3

)+P(

.

A1

•

.

A2

•A3)，代入數(shù)據(jù)計算可得；（II）解法一：分別求ξ=0，1，2，3時的概率，由期望的定義可得；解法二：可得ξ～B（3，0.7），故Eξ=np，計算可得．

解答：解：（I）分別記甲、乙、丙經(jīng)過第一次打磨后合格為事件A₁、A₂、A₃．
設E表示第一次打磨后恰有一件合格，則P（E）=0.38
∴P(E)=P(A1•

.

A2

•

.

A3

)+P(

.

A1

•A2•

.

A3

)+P(

.

A1

•

.

A2

•A3)…（4分）
∴0.5×0.6×（1-p）+0.5×0.4×（1-p）+0.5×0.6×p=0.38，
解得p=0.6．…（6分）
（II）解法一：分別記甲、乙、丙經(jīng)過兩次打磨后合格為事件A、B、C
則P（A）=0.3，P（B）=0.3，P（C）=0.3…（8分）
∴

P(ξ=0)=0．33=0.027

，

P(ξ=1)=3×0．32×0.7=0.189

，

P(ξ=2)=3×0．72×0.3=0.441

，

P(ξ=3)=0．73=0.343

，
∴Eξ=1×0.189+2×0.441+3×0.343=2.1．…（12分）
解法二：因為每件產(chǎn)品經(jīng)過兩次打磨后合格的概率均是0.3，…（8分）
即兩次打磨后不合格的概率均為0.7…（10分）
故ξ～B（3，0.7），故Eξ=np=3×0.7=2.1…（12分）

點評：本題考查離散型隨機變量的期望的求解，涉及相互獨立事件的概率公式，屬中檔題．