已知O為坐標原點，A（0，2），B（4，6），
OM
=t1
OA
+t2
AB
．
（1）求點M在第二或第三象限的充要條件；
（2）求證：當t1=1時，不論t2為何實數(shù)，A、B、M三點都共線；
（3）若t1=a2，求當
OM
⊥
AB
且△ABM的面積為12時，a的值．
分析：（1）由條件求出點M的坐標，利用點M在第二或第三象限的充要條件為橫坐標小于0，縱坐標不等于0，得到結(jié)果．
（2）由條件求出
AM
 的坐標，證明
AM
 等于一個實數(shù)與
AB
的乘積，即
AM
∥
AB
，即證明了A、B、M三點共線．
（3）先求出
AB
的坐標，用點到直線的距離公式求出點M到直線AB的距離，由三角形面積等于12解出a的值．
解答：解：（1）
OM
=t1
OA
+t2
AB
=t1（0，2）+t2（4，4）=（4t2，2t1+4t2）．
當點M在第二或第三象限時，等價于
4t2＜0
2t1+4t2≠0.
，故所求的充要條件為t2＜0且t1+2t2≠0．
（2）證明：當t1=1時，由（1）知
OM
=（4t2，4t2+2）．
∵
AB
=
OB
-
OA
=（4，4），
AM
=
OM
-
OA
=（4t2，4t2）=t2（4，4）=t2
AB
，
∴不論t2為何實數(shù)，A、B、M三點共線．
（3）當t1=a2時，
OM
=（4t2，4t2+2a2）． 又∵
AB
=（4，4），
OM
⊥
AB
，
∴4t2×4+（4t2+2a2）×4=0，∴t2=-
1
4
a2，∴
OM
=（-a2，a2）．又∵|
AB
|=4
2
，
點M到直線AB：x-y+2=0的距離d=
|-a2-a2+2|
2
=
2
|a2-1|．
∵S△ABM=12，∴
1
2
|
AB
|•d=
1
2
×4
2
×
2
|a2-1|=12，解得a=±2，
故所求a的值為±2．
點評：本題考查兩個向量坐標形式的運算法則，證明三點共線的方法，向量的模及點到直線的距離公式的應(yīng)用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，準確進行坐標運算，是解題的難點和關(guān)鍵．
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相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知O為坐標原點，A，B是圓x2+y2=1分別在第一、四象限的兩個點，C（5，0）滿足：
OA
•
OC
=3、
OB
•
OC
=4，則
OA
+t
OB
+
OC
(t∈R)模的最小值為
4
4
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知O為坐標原點，A（0，2），B（4，6），
OM
=t1
OA
+t2
AB
．
（1）求證：當t1=1時，不論t2為何實數(shù)，A、B、M三點都共線；
（2）若t1=a2，求當
OM
⊥
AB
且△ABM的面積為12時a的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•浙江二模）已知O為坐標原點，A（1，1），C（2，3）且2
AC
=
CB
，則
OB
的坐標是
（4，7）
（4，7）
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知O為坐標原點，A（0，1），B(3，4)，
OM
=t1
OA
+t2
AB
．
（1）求點M在第二象限或第三象限的充要條件；
（2）求證：當t1=1時，不論t2為何實數(shù)，A、B、M三點都共線；
（3）若t1=2，求當點M為∠AOB的平分線上點時t2的值．

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