（19）數(shù)列｛xn｝由下列條件確定：x1=a＞0，xn+1=（xn+），n∈N.

（Ⅰ）證明：對(duì)n≥2，總有xn≥；

 

（Ⅱ）證明：對(duì)n≥2，總有xn≥xn+1；

 

（Ⅲ）若數(shù)列｛xn｝的極限存在，且大于零，求xn的值.

（19）本小題主要考查數(shù)列、數(shù)列極限、不等式等基本知識(shí)，考查邏輯能力.

 

（Ⅰ）證明：由x1=a＞0及xn+1=（xn+），可歸納證明xn＞0（沒(méi)有證明過(guò)程不扣分）.

 

從而有xn+1=（xn+）≥（n∈N）,

 

所以，當(dāng)n≥2時(shí)，xn≥成立.

 

（Ⅱ）證法一：當(dāng)n≥2時(shí)，因?yàn)?I>xn≥＞0，xn+1=（xn+），

 

所以xn+1－xn=（xn+）－xn =·≤0，

 

故當(dāng)n≥2時(shí)，xn≥xn+1成立

 

證法二：當(dāng)n≥2時(shí)，因?yàn)?I>xn≥＞0，xn+1=（xn+），

 

所以=≤=1，

 

故當(dāng)n≥2時(shí)，xn≥xn+1成立.

 

（Ⅲ）解：記xn=A，則xn+1=A，且A＞0.

 

由xn+1=（xn+），

 

得xn+1=（xn+），

 

 即A=（A+）.

 

由A＞0，解得A=，故xn=.


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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（19）數(shù)列{xn}由下列條件確定：x1=a＞0，xn+1=（xn+），n∈N.

（Ⅰ）證明：對(duì)n≥2，總有xn≥;

 

（Ⅱ）證明：對(duì)n≥2，總有xn≥xn+1.

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