Question

已知函數f(x)＝－a²x²＋ax＋lnx(a∈R)．

(Ⅰ)我們稱使f(x)＝0成立的x為函數的零點．證明：當a＝1時，函數f(x)只有一個零點；

(Ⅱ)若函數f(x)在區(qū)間(1，＋∞)上是減函數，求實數a的取值范圍．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)當a＝1時，，其定義域為(0，＋∞)，1分 　　，令， 　　解得或，又∵x＞0，故x＝1，3分 　　當0＜x＜1時，； 　　當x＞1時，， 　　∴函數在區(qū)間(0，1)上單調遞增，在區(qū)間(1，＋∞)上單調遞減，5分 　　當x＝1時，函數取得最大值，即， 　　所以函數只有一個零點；(6分) 　　(Ⅱ)因為，其定義域為(0，＋∞)， 　　所以，8分 　　(1)當a＝0時，， 　　所以在區(qū)間(0，＋∞)上為增函數，不合題意．(10分) 　　(2)當a＞0時，等價于， 　　即x＞，此時，的單調減區(qū)間為(，＋∞)，依題意， 　　得，解之得．(12分) 　　(3)當a＜0時，等價于， 　　即0＜x＜，此時的單調減區(qū)間為(0，)，不合題意．14分 　　綜上所述，實數a的取值范圍是．(15分)