Question

在△ABC中，已知•=9，sinB=cosAsinC，面積S_△ABC=6．
（Ⅰ）求△ABC的三邊的長；
（Ⅱ）設(shè)P是△ABC（含邊界）內(nèi)一點(diǎn)，P到三邊AC，BC，AB的距離分別為x，y和z，求x+y+z的取值范圍．

Answer 1

解：設(shè)AB=c，AC=b，BC=a．
（Ⅰ），，，
bc=15，，
由，
用余弦定理得：a=4…（7分）
（Ⅱ）
設(shè)t=2x+y，由線性規(guī)劃得0≤t≤8．
∴．…（13分）
分析：（1）設(shè)三邊分別為a，b，c，利用正弦定理和余弦定理將題中條件角的關(guān)系轉(zhuǎn)化成邊的關(guān)系，得到直角三角形ABC，再結(jié)合向量條件利用三角形面積公式即可求出三邊長．
（2）欲求x+y+z的取值范圍，利用坐標(biāo)法，將三角形ABC放置在直角坐標(biāo)系中，通過點(diǎn)到直線的距離將求x+y+z的范圍轉(zhuǎn)化為，最后結(jié)合線性規(guī)劃的思想方法求出范圍即可．
點(diǎn)評：本題主要考查了解三角形中正弦定理、余弦定理、平面向量數(shù)量積的運(yùn)算、簡單線性規(guī)劃思想方法的應(yīng)用，屬于中檔題．