Question

（2012•海淀區(qū)二模）已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦點為F（1，0），且點（-1，

2

2

）在橢圓C上．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）已知點Q（

5

4

，0），動直線l過點F，且直線l與橢圓C交于A，B兩點，證明：

QA

•

QB

為定值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意知：c=1，根據(jù)橢圓定義可求得a，根據(jù)b²=a²-c²可得b；
（Ⅱ）分直線l的斜率為0，不為0兩種情況進(jìn)行討論：當(dāng)直線l的斜率為0時直接按照向量數(shù)量積運算即可；當(dāng)直線l的斜率不為0時，設(shè)直線l的方程為：x=ty+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．聯(lián)立直線方程與橢圓方程消掉x得y的二次方程，由韋達(dá)定理及向量數(shù)量積公式代入運算可得結(jié)論；

解答：（Ⅰ）解：由題意知：c=1．
根據(jù)橢圓的定義得：2a=

(-1-1)2+( 2 2 )2

+

2

2

，解得a=

2

．
所以 b²=2-1=1．
所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

2

+y2=1．
（Ⅱ）證明：當(dāng)直線l的斜率為0時，A(

2

，0)，B(-

2

，0)．
則 

QA

•

QB

=(

2

-

5

4

，0)•(-

2

-

5

4

，0)=-

7

16

．
當(dāng)直線l的斜率不為0時，設(shè)直線l的方程為：x=ty+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由

x2 2 +y2=1 x=ty+1

，可得：（t²+2）y²+2ty-1=0．
顯然△＞0，則

y1+y2=- 2t t2+2 y1y2=- 1 t2+2 .

，
因為x₁=ty₁+1，x₂=ty₂+1，
所以

QA

•

QB

=(x1-

5

4

，y1)•(x2-

5

4

，y2)=(ty1-

1

4

)(ty2-

1

4

)+y1y2
=(t2+1)y1y2-

1

4

t(y1+y2)+

1

16

=-(t2+1)

1

t2+2

+

1

4

t

2t

t2+2

+

1

16

=

-2t2-2+t2

2(t2+2)

+

1

16

=-

7

16

，即 

QA

•

QB

=-

7

16

．
綜上，

QA

•

QB

=-

7

16

，即

QA

•

QB

為定值．

點評：本題考查橢圓方程、直線方程及其位置關(guān)系，考查向量的數(shù)量積運算，考查學(xué)生解決問題的能力．