Question

（本小題滿分12分）

如圖，邊長(zhǎng)為a的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E為CC₁的中點(diǎn)．

（1）求直線A₁E與平面BDD₁B₁所成的角的正弦值

（2）求點(diǎn)E到平面A₁DB的距離

 

Answer 1

【答案】

（1）．（2）即點(diǎn)到平面的距離為．

【解析】

試題分析：以DA、DC、DD₁所在的直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，

則D（0，0，0），A（a，0，0）．B（a，a，0），C（0，a，0），E（0，a，），A₁（a，0，a）． …………3分

（1）設(shè)直線A₁E與平面BDD₁B₁所成的角為．

因?yàn)锳C平面BDD₁B₁，所以平面BDD₁B₁的法向量為

，又．

所以 ．……………………………………………………………………6分

（2）設(shè)=為平面A₁DB的法向量，

，  ………………………………………8分

 又 ………………………11分

即點(diǎn)到平面的距離為．…………………………………………………12分

考點(diǎn)：本題主要考查立體幾何中的平行關(guān)系、垂直關(guān)系，角、距離的計(jì)算。

點(diǎn)評(píng)：典型題，立體幾何題，是高考必考內(nèi)容，往往涉及垂直關(guān)系、平行關(guān)系、角、距離、體積的計(jì)算。在計(jì)算問(wèn)題中，有“幾何法”和“向量法”。利用幾何法，要遵循“一作、二證、三計(jì)算”的步驟，（2）小題，將立體問(wèn)題轉(zhuǎn)化成平面問(wèn)題，這也是解決立體幾何問(wèn)題的一個(gè)基本思路。應(yīng)用空間向量，則可使問(wèn)題解答得以簡(jiǎn)化。