Question

某市出租車的起步價為6元，行駛路程不超過3 km時，租車費為6元，若行駛路程超過3 km，則按每超出1 km(不足1 km也按1 km計程)收費3元計費.設出租車一天行駛的路程數ξ(按整km數計算，不足1 km的自動計為1 km)是一個隨機變量，則其收費也是一個隨機變量.

已知一個司機在某個月每次出車都超過了3 km，且一天的總路程數可能的取值是200、220、240、260、280、300(km)，它們出現的概率依次是0.12、0.18、0.20、0.20、100a²+3a、4a.

(1)求這一個月中一天行駛路程ξ的分布列，并求ξ的數學期望和方差；

(2)求這一個月中一天所收租車費η的數學期望和方差.

Answer 1

解析：(1)由概率分布的性質有，0.12+0.18+0.20+0.20+100a²+3a+4a=1.

∴100a²+7a=0.3,

∴1 000a²+70a-3=0,a=,或a=- (舍去)，

即a=0.03,

∴100a²+3a=0.18,4a=0.12,

∴ξ的分布列為：

ξ	200	220	240	260	280	300
P	0.12	0.18	0.20	0.20	0.18	0.12

∴Eξ=200×0.12+220×0.18+240×0.20+260×0.20+280×0.18+300×0.12=250(km).

Dξ=50²×0.12+30²×0.18+10²×0.20+10²×0.20+30²×0.18+50²×0.12=964;

(2)由已知η=3ξ-3(ξ＞3,ξ∈Z),

∴Eη=E(3ξ-3)=3Eξ-3=3×250-3=747(元)，

Dη=D(3ξ-3)=3²Dξ=6 723