Question

已知函數(shù)，
（1）若方程f（x）=0有正根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）設(shè)g（x）=|xf（x）|，且g（x）在區(qū)間[0，1]上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）方程有正根?方程x²-ax+a=0有正根．△=a²-4a
①當(dāng)△=0，即a=0或a=4時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)a=4符合題意．
②當(dāng)△＞0，即a＞4或a＜0時(shí)，設(shè)方程x²-ax+a=0的兩個(gè)根為x₁、x₂，
∵a＞4時(shí)，使得成立，所以a＞4符合題意∵a＜0時(shí)，使得x₁x₂＜0成立，所以a＜0符合題意．
綜上，a≥4或a＜0
（2）
①當(dāng)即0≤a≤4時(shí)，g（x）在區(qū)間上是減函數(shù)，又已知g（x）在區(qū)間[0，1]上是減函數(shù)，
∴即a≥2，
∴2≤a≤4
②當(dāng)即a＞4或a＜0時(shí)，設(shè)方程g（x）=0的兩根為x₁，x₂且x₁＜x₂，此時(shí)g（x）
在區(qū)間（-∞，x₁]或區(qū)間上是減函數(shù)，若[0，1]?（-∞，x₁]，則得a＞2
∴a＞4
若[0，1]?，則此時(shí)a不存在
綜上，a≥2
分析：（1）根據(jù)方程f（x）=0有正根，轉(zhuǎn)化為方程x²-ax+a=0有正根，對方程進(jìn)行有異號(hào)根，和兩正根或一零根一正根進(jìn)行討論，即可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）求出并配方得，根據(jù)g（x）的圖象特征，分和時(shí)進(jìn)行討論，即可求得結(jié)果．
點(diǎn)評(píng)：本題考查一元二次方程的根的情況以及y=|f（x）|函數(shù)的圖象特點(diǎn)，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，考查運(yùn)算能力和靈活應(yīng)用知識(shí)分析解決問題的能力，屬難題．