Question

對于定義在區(qū)間D上的函數(shù)f（x），若存在閉區(qū)間[a，b]⊆D和常數(shù)c，使得對任意x₁∈[a，b]，都有f（x₁）=c，且對任意x₂∈D，當(dāng)x₂∉[a，b]時，f（x₂）＞c恒成立，則稱函數(shù)f（x）為區(qū)間D上的“平底型”函數(shù)．
（1）判斷f₁（x）=|x-1|+|x-2|和f₂（x）=x+|x-2|是否為R上的“平底型”函數(shù)？并說明理由；
（2）若函數(shù)g(x)=mx+

x2+2x+n

是區(qū)間[-2，+∞）上的“平底型”函數(shù)，求m和n的值．

Answer 1

分析：（1）對于函數(shù)f₁（x）=|x-1|+|x-2|，欲判斷其是否是“平底型”函數(shù)，只須什么f₁（x）＞1是否恒成立，對于函數(shù)f₂（x）=x+|x-2|，當(dāng)x∈（-∞，2]時，f₂（x）=2；當(dāng)x∈（2，+∞）時，f₂（x）=2x-2＞2，故可得結(jié)論；
（2）函數(shù)g（x）=mx+

x2+2x+n

是區(qū)間[-2，+∞）上的“平底型”函數(shù)，等價于x²+2x+n=m²x²-2cmx+c²對任意的x∈[a，b]成立，利用恒等關(guān)系，可得到關(guān)于m，n，c的方程，解出它們的值，最后通過驗(yàn)證g（x）是區(qū)間[-2，+∞）上的“平底型”函數(shù)即可解決問題．

解答：解：（1）對于函數(shù)f₁（x）=|x-1|+|x-2|，當(dāng)x∈[1，2]時，f₁（x）=1．
當(dāng)x＜1或x＞2時，f₁（x）＞|（x-1）-（x-2）|=1恒成立，故f₁（x）是“平底型”函數(shù)．
對于函數(shù)f₂（x）=x+|x-2|，當(dāng)x∈（-∞，2]時，f₂（x）=2；當(dāng)x∈（2，+∞）時，
f₂（x）=2x-2＞2．
所以不存在閉區(qū)間[a，b]，使當(dāng)x∉[a，b]時，f（x）＞2恒成立．
故f₂（x）不是“平底型”函數(shù)；
（2）由“平底型”函數(shù)定義知，存在閉區(qū)間[a，b]⊆[-2，+∞）和常數(shù)c，使得對任意的x∈[a，b]，
都有g(shù)（x）=mx+

x2+2x+n

=c，即

x2+2x+n

=c-mx
所以x²+2x+n=（c-mx）²恒成立，即x²+2x+n=m²x²-2cmx+c²對任意的x∈[a，b]成立…（13分）
所以

m2=1 -2cm=2 c2=n

，所以

m=1 c=-1 n=1

或

m=-1 c=1 n=1

…（14分）
①當(dāng)

m=1 c=-1 n=1

時，g（x）=x+|x+1|．
當(dāng)x∈[-2，-1]時，g（x）=-1，當(dāng)x∈（-1，+∞）時，g（x）=2x+1＞-1恒成立．
此時，g（x）是區(qū)間[-2，+∞）上的“平底型”函數(shù)…（16分）
②當(dāng)

m=-1 c=1 n=1

時，g（x）=-x+|x+1|．
當(dāng)x∈[-2，-1]時，g（x）=-2x-1≥1，當(dāng)x∈（-1，+∞）時，g（x）=1．
此時，g（x）不是區(qū)間[-2，+∞）上的“平底型”函數(shù)．（12分）
綜上分析，m=1，n=1為所求…（18分）

點(diǎn)評：本題考查新定義，考查函數(shù)恒成立問題，考查函數(shù)的最值，解題的關(guān)鍵是利用恒成立結(jié)論等式，從而可得參數(shù)的值，屬于難題．