Question

四棱錐中，底面為矩形，側(cè)面底面，，，．

（Ⅰ）證明：；

（Ⅱ）設與平面所成的角為，求二面角的大小．

Answer 1

解法一：

（Ⅰ）作AO⊥BC，垂足為O，連接OD，由題設知，AO⊥底面BCDE，且O為BC中點，

由知，Rt△OCD∽Rt△CDE，從而∠ODC=∠CED，于是CE⊥OD.

由三垂線定理知，AD∠CE.

（Ⅱ）由題意，BE⊥BC，所以BE⊥側(cè)面ABC，

又BE側(cè)面ABE，所以側(cè)面ABE⊥側(cè)面ABC.

作CF⊥AB，垂足為F，連接FE，則CF⊥平面ABE.

故∠CEF為CE與平面ABE所成的角，∠CEF=45°.

由CE=，得CF=。

又BC=2，因而∠ABC=60°。所以△ABC為等邊三角形。

作CG⊥AD，垂足為G，連接GE。

由（Ⅰ）知，CE⊥AD，又CECG=C，

故AD⊥平面CGE，AD⊥GE，∠CGE是二面角C-AD-E的平面角。

解法二：

（Ⅰ）作AO⊥BC，垂足為O。

則AO⊥底面BCDE，且O為BC的中點。

以O為坐標原點，射線OC為x軸正向，建立如圖所示的直角坐標系O-xyz.

設A（0，0，t），由已知條件有

C(1,0,0), D(1, ,0),E(-1, ,0),

得AD⊥CE.

（Ⅱ）作CF⊥AB，垂足為F，連接FE.

設F（x,0,z），則

作CG⊥AD，垂足為G，連接GE，在Rt△ACD中，求得|AG|=

故

所以與的夾角等于二面角C-AD-E的平面角.

知二面角C-AD-E為arccos().