Question

已知函數(shù)f(x)=-

3

sin2x+sinxcosx
（I）求函數(shù)f（x）的最小正周期； 
（II）求函數(shù)f(x)在x∈[0，

π

2

]的值域．

Answer 1

分析：把f（x）的解析式中的第一項利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡，第二項利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡，然后再利用兩角和的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，
（I）找出正弦函數(shù)中的λ，根據(jù)周期公式T=

2π

λ

即可求出最小正周期；
（II）由x的范圍，求出這個角的范圍，然后根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)得到正弦函數(shù)的值域，即可得到f（x）的值域．

解答：解：f(x)=-

3

sin2x+sinxcosx
=-

3

×

1-cos2x

2

+

1

2

sin2x
=

1

2

sin2x+

3

2

cos2x-

3

2

=sin(2x+

π

3

)-

3

2

，
（I）T=

2π

2

=π
（II）∴0≤x≤

π

2

，
∴

π

3

≤2x+

π

3

≤

4π

3

，
∴-

3

2

≤sin(2x+

π

3

)≤1，
所以f（x）的值域為：[-

3

，

2- 3

2

]

點評：此題考查了正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，三角函數(shù)的周期性及其求法，以及正弦函數(shù)的值域．根據(jù)三角函數(shù)的恒等變形把f（x）的解析式化為一個角的正弦函數(shù)是解本題的關(guān)鍵．