Question

過點P（1，0）作曲線C：y=x^k（x∈（0，+∞），k∈N^*，k＞1）的切線，切點為M₁，設M₁在x軸上的投影是點P₁．又過點P₁作曲線C的切線，切點為M₂，設M₂在x軸上的投影是點P₂…．依此下去，得到一系列點M₁，M₂，…，M_n，…，設它們的橫坐標a₁，a₂，…，a_n，…，構成數列{a_n}．（a₁≠0）．
（1）求證數列{a_n}是等比數列，并求其通項公式；
（2）求證：an≥1+

n

k+1

；
（3）若k=2，記bn=

n

i=0

(-1)i

a

2 n-i

C

i 2n-i+1

，求b₂₀₁₀．

Answer 1

分析：（1）要證數列{a_n}是等比數列，只需利用已知條件證明

an

an-1

=

k

k-1

是常數即可，利用通項公式的求法直接求其通項公式；
（2）要證an≥1+

n

k+1

，先驗證n=1然后利用二項式定理，采用放縮法證明即可．
（3）若k=2，記bn=

n

i=0

(-1)i

a

2 n-i

C

i 2n-i+1

，求出b_n=2b_n-1-b_n-2，解得b_n=n+1，然后求b₂₀₁₀．

解答：解：（1）對y=x^k求導數，得y^/=kx^k-1，切點是M_n（a_n，a_n^k）的切線方程是y-a_n^k=ka_n^k-1（x-a_n）．
當n=1時，切線過點P（1，0），即0-a₁^k=ka₁^k-1（x-a₁），得a₁=

k

k-1

，
當n＞1時，切線過點P_n-1（a_n-1，0），即0-a_n^k=ka_n^k-1（a_n-1-a_n），得

an

an-1

=

k

k-1

，
所以數列{a_n}是首項a₁=

k

k-1

，公比為

k

k-1

的等比數列，且通項公式為an=(

k

k-1

)n．
（2）當n=1時，a₁=

k

k-1

=1+

1

k-1

，當n≥2時，應用二項式定理，an=(

k

k-1

)n=(1+

1

k-1

)n=

C

0 n

+

C

1 n

1

k-1

+

C

2 n

(

1

k-1

)2++

C

n n

(

1

k-1

)n≥1+

n

k-1

．
（3）a_n=2ⁿ，b_n=

n

i=0

(-1)i22n-2i

C

i 2n-i+1

，設cn=

n

i=0

(-1)i22n-2i

C

i 2n-1

，
則b_n=2²ⁿ+

n

i=1

(-1)i22n-2i(

C

1 2n-1

+

C

i-1 2n-1

)=

n

i=0

(-1)i22n-2i

C

i 2n-1

-

n-1

j=0

(-1)j22(n-1)-2j

C	j 2(n-1)-j+1

=c_n-b_n-1．
同理c_n=2²ⁿ+

n-1

i=1

(-1)i22n-2i(

C

i 2n-i-1

+

C	i-1 2n-i-1

)+(-1)n=

n-1

i=0

(-1)i22n-2i

C

i 2n-i-1

+

n

i=1

(-1)i22n-2i

C

i 2n-i-1

+

n

i=1

(-1)i22n-2i

C	i-1 2n-i-1

=4

n-1

i=0

(-1)i22(n-1)-2i

C	i 2(n-1)-i+1

-

n-1

k=0

(-1)k22(n-1)-2k

C	k 2(n-1)-k

=4b_n-1-C_n-1．
∴b_n+b_n-1=c_n=4b_n-1-c_n-1=4b_n-1-b_n-1-b_n-2，即b_n=2b_n-1-b_n-2，∴b_n-b_n-1=b_n-1-b_n-2═b₁-b₀=2-1=1，
故b_n=n+1，∴b₂₀₁₀=2011．

點評：本題是中檔題，考查數列的通項公式的求法，數列的證明，數列的化簡與構造法的應用，是本題解題的關鍵，注意二項式定理的應用．