Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中．橢圓的右焦點(diǎn)為F，右準(zhǔn)線為l．
（1）求到點(diǎn)F和直線l的距離相等的點(diǎn)G的軌跡方程．
（2）過點(diǎn)F作直線交橢圓C于點(diǎn)A，B，又直線OA交l于點(diǎn)T，若，求線段AB的長；
（3）已知點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），x≠0，直線OM交直線于點(diǎn)N，且和橢圓C的一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)P，是否存在實(shí)數(shù)λ，使得，若存在，求出實(shí)數(shù)λ；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由橢圓方程確定點(diǎn)F的坐標(biāo)和直線l的方程，利用到點(diǎn)F和直線l的距離相等，建立等式，化簡可得點(diǎn)G的軌跡方程；
（2）由若，可得A的坐標(biāo)，從而可求線段AB的長；
（3）假設(shè)存在實(shí)數(shù)λ滿足題意，確定直線OM、ON的方程，表示出N，P的坐標(biāo)，利用，即可求得結(jié)論．
解答：解：（1）由橢圓方程為
可得a²=2，b²=1，c=1，F(xiàn)（1，0），l：x=2．
設(shè)G（x，y），則由題意可知，
化簡得點(diǎn)G的軌跡方程為y²=-2x+3．…（4分）
（2）由題意可知x_A=x_F=c=1，
故將x_A=1代入，
可得，從而．   …（8分）
（3）假設(shè)存在實(shí)數(shù)λ滿足題意．
由已知得①②
橢圓C：③
由①②解得，．
由①③解得，．              …（12分）
∴，
．
∵
∴可得λ=1滿足題意．                                  …（16分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查軌跡方程的求解，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，屬于中檔題．