Question

甲、乙兩名教師進(jìn)行乒乓球比賽，采用七局四勝制（先勝四局者獲勝）．若每一局比賽甲獲勝的概率為

2

3

，乙獲勝的概率為

1

3

．現(xiàn)已賽完兩局，乙暫時(shí)以2：0領(lǐng)先．
（1）求甲獲得這次比賽勝利的概率；
（2）設(shè)比賽結(jié)束時(shí)比賽的總局?jǐn)?shù)為隨機(jī)變量ξ，求隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望E（ξ）．

Answer 1

分析：（1）甲獲得這次比賽勝利情況有二，一是比賽六局結(jié)束，甲連續(xù)贏了四局，一是比賽了七局，甲在后五局中贏了四局，且最后一局是甲贏，分別計(jì)算出這兩個(gè)事件的概率，求其和．
（2）設(shè)比賽結(jié)束時(shí)比賽的局?jǐn)?shù)為ξ，求隨機(jī)變量ξ的概率分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答：解（1）甲獲得這次比賽勝利情況有二，一是比賽六局結(jié)束，甲連續(xù)贏了四局，一是比賽了七局，甲在后五局中贏了四局，且最后一局是甲贏，
由此得甲獲得這次比賽勝利的概率為 (

2

3

)4+C₄³×(

2

3

)3×

1

3

=

16

81

+

32

81

=

48

81

=

16

27

甲獲得這次比賽勝利的概率

16

27

．
（2）隨機(jī)變量ξ的所有可能取值為4，5，6，7
隨機(jī)變量ξ的分布列為
P（ξ=4）=(

1

3

)2=

1

9

，
P（ξ=5）=

C

1 2

×

1

3

×

2

3

×

1

3

=

4

27

，
P（ ξ=6）=(

2

3

)4

+C

1 3

1

3

•(

2

3

)2•

1

3

=

28

81

 
P（ξ=7）=

C

1 4

•

1

3

•(

2

3

)3•

1

3

+

C

3 4

(

2

3

)3•

1

3

•

2

3

=

32

81

．
∴隨機(jī)變量ξ的數(shù)學(xué)期望為E（ξ）=4×

1

9

+5×

4

27

+6×

28

81

+7×

32

81

=

488

81

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率，解題的關(guān)鍵是正確理解兩個(gè)事件、“甲獲得這次比賽勝利”，再由概率的計(jì)算公式計(jì)算出概率．本題是概率中的有一定綜合性的題，對(duì)事件正確理解與分類是很關(guān)鍵．