Question

（12分）有一塊邊長(zhǎng)為4的正方形鋼板，現(xiàn)對(duì)其切割、焊接成一個(gè)長(zhǎng)方體無(wú)蓋容器（切、焊損耗忽略不計(jì)）。有人應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)作如下設(shè)計(jì)：在鋼板的四個(gè)角處各切去一個(gè)全等的小正方形，剩余部分圍成一個(gè)長(zhǎng)方體，該長(zhǎng)方體的高是小正方形的邊長(zhǎng)。
（1）請(qǐng)你求出這種切割、焊接而成的長(zhǎng)方體容器的最大容積；
（2）請(qǐng)你判斷上述方案是否是最佳方案，若不是，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一種新方案，使材料浪費(fèi)最少，且所得長(zhǎng)方體容器的容積。

Answer 1

（1）當(dāng)時(shí)，取最大值 ；
（2）重新設(shè)計(jì)方案如下：

如圖①，在正方形的兩個(gè)角處各切下一個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形；如圖②，將切下的小正方形焊在未切口的正方形一邊的中間；將圖②焊成長(zhǎng)方體容器.新焊長(zhǎng)方體容器底面是一長(zhǎng)方形，長(zhǎng)為3，寬為2，此長(zhǎng)方體容積為6，故第二種方案符合要求.

本試題主要是考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用。求解最值問(wèn)題。
（1）因?yàn)樵O(shè)切去正方形邊長(zhǎng)為x，則焊接成的長(zhǎng)方體的底面邊長(zhǎng)為，高為x，
，然后求解導(dǎo)數(shù)來(lái)判定單調(diào)性得到極值，進(jìn)而求解最值。
（2）在正方形的兩個(gè)角處各切下一個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形；如圖②，將切下的小正方形焊在未切口的正方形一邊的中間；將圖②焊成長(zhǎng)方體容器.新焊長(zhǎng)方體容器底面是一長(zhǎng)方形，長(zhǎng)為3，寬為2，此長(zhǎng)方體容積為6，故第二種方案符合要求
（1）設(shè)切去正方形邊長(zhǎng)為x，則焊接成的長(zhǎng)方體的底面邊長(zhǎng)為，高為x，
                          ……（2分）
.                                ……（3分）
當(dāng)時(shí)，是關(guān)于x的增函數(shù)；
當(dāng)時(shí)，是關(guān)于x的減函數(shù).
∴當(dāng)時(shí)，取最大值                                       ……（7分）
（2）重新設(shè)計(jì)方案如下：

如圖①，在正方形的兩個(gè)角處各切下一個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形；如圖②，將切下的小正方形焊在未切口的正方形一邊的中間；將圖②焊成長(zhǎng)方體容器.新焊長(zhǎng)方體容器底面是一長(zhǎng)方形，長(zhǎng)為3，寬為2，此長(zhǎng)方體容積為6，故第二種方案符合要求.……（12分）