Question

已知函數(shù)f（x）在R上有定義，對(duì)任意實(shí)數(shù)a＞0和任意實(shí)數(shù)x都有f（ax）=a﹒f（x）．
（1）證明：f（0）=0
（2）若f（1）=1，求g(x)=

1

f(x)

+f(x)．(x＞0)的極值．

Answer 1

分析：（1）令x=0代入即可得到答案．
（2）先表示出函數(shù)g（x），然后對(duì)其進(jìn)行求導(dǎo)，導(dǎo)數(shù)大于0時(shí)單調(diào)遞增，導(dǎo)數(shù)小于0時(shí)單調(diào)遞減，導(dǎo)數(shù)等于0時(shí)函數(shù)取到極值點(diǎn)．

解答：解：（1）證明：令x=0，則f（0）=af（0），
∵a＞0，∴f（0）=0．
（2）由于f（1）=1
則f（x）=f（x•1）=x•f（1）=x
故g(x)=

1

f(x)

+f(x)=

1

x

+x．(x＞0)
可得g′(x)=1-

1

x2

=

(x+1)(x-1)

x2

  (x＞0)
令g ′(x)＞0，則x＞1或x＜-1；令g ′(x)＜0，則-1＜x＜1．
故函數(shù)g（x）在x=-1處取得極大值，且極大值為-2，函數(shù)g（x）在x=1處取得極小值，且極小值為2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)有關(guān)問(wèn)題，當(dāng)導(dǎo)數(shù)大于0時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)導(dǎo)數(shù)小于0時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)導(dǎo)數(shù)等于0時(shí)函數(shù)取極值點(diǎn)．