Question

用1，2，3，4，5，6這六個(gè)數(shù)字組成的四位數(shù)中，試回答下面問題
（1）一共有多少個(gè)沒重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)？
（2）若把（1）中這些沒重復(fù)數(shù)字按從小到大的順序排成一列，則3241是第幾個(gè)數(shù)？
（3）（2）中的第100個(gè)數(shù)字是多少？

Answer 1

分析：（1）用1，2，3，4，5，6這六個(gè)數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，也就是從6個(gè)數(shù)字中取出4個(gè)數(shù)字的所有排列的個(gè)數(shù)；
（2）根據(jù)題意，先考慮1，2開頭的數(shù)字有120個(gè)，再考慮31開頭的數(shù)字有12個(gè)，進(jìn)而考慮32開頭的數(shù)字只有3214，3215，3216比3241小，從而可得答案；
（3）由于1，2開頭的數(shù)字有120個(gè)，1開頭的數(shù)字有60個(gè)，于是第100個(gè)數(shù)字一定是2開頭的數(shù)字．21，23，24開頭的數(shù)字各有P₄²=12個(gè)，總計(jì)36個(gè)，于是2513是第60+36+1=97個(gè)數(shù)，第98、99個(gè)數(shù)依次是2514，2516．故可知第100個(gè)數(shù)字是2531．

解答：解：（1）用1，2，3，4，5，6這六個(gè)數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，也就是從6個(gè)數(shù)字中取出4個(gè)數(shù)字的所有排列的個(gè)數(shù)，故有P₆⁴=360；…（2分）
（2）1，2開頭的數(shù)字有2P₅³=120，31開頭的數(shù)字有P₄²=12個(gè)，32開頭的數(shù)字只有3214，3215，3216比3241小，
于是3241是第120+12+3+1=136個(gè)數(shù)．…（4分）
（3）由于1，2開頭的數(shù)字有120個(gè)，1開頭的數(shù)字有60個(gè)，于是第100個(gè)數(shù)字一定是2開頭的數(shù)字．
21，23，24開頭的數(shù)字各有P₄²=12個(gè)，總計(jì)36個(gè)，
于是2513是第60+36+1=97個(gè)數(shù)，第98、99個(gè)數(shù)依次是2514，2516．所以第100個(gè)數(shù)字是2531．…（4分）

點(diǎn)評：本題的考點(diǎn)是排列、組合及簡單計(jì)數(shù)問題，主要考查排列的定義，考查排列數(shù)的計(jì)算，屬于中檔題．