Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知P是函數(shù)f（x）=xlnx-x的圖象上的動(dòng)點(diǎn)，該曲線在點(diǎn)P處的切線l交y軸于點(diǎn)M（0，y_M），過(guò)點(diǎn)P作l的垂線交y軸于點(diǎn)N（0，y_N）．則

yN

yM

的范圍是（　�。�

• A、（-∞，-1]∪[3，+∞）
• B、（-∞，-3]∪[1，+∞）
• C、[3，+∞）
• D、（-∞，-3]

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專(zhuān)題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：設(shè)出P的坐標(biāo)，求導(dǎo)函數(shù)，可得曲線在點(diǎn)P處的切線l的方程，過(guò)點(diǎn)P作l的垂線的方程，令x-0，可得y_M=-a，y_N=alna-a+

a

lna

，進(jìn)而可求

yN

yM

=-lna+1-

1

lna

，利用基本不等式，即可求出

yN

yM

的范圍．

解答：解：設(shè)P（a，alna-a），則
∵f（x）=xlnx-x，
∴f′（x）=lnx，
∴曲線在點(diǎn)P處的切線l的方程為y-alna+a=lna（x-a），即y=-a+xlna．
令x=0，可得y_M=-a，
過(guò)點(diǎn)P作l的垂線的方程為y-alna+a=-

1

lna

（x-a），
令x=0，可得y_N=alna-a+

a

lna

，
∴

yN

yM

=-lna+1-

1

lna

，
∵lna+

1

lna

≥2或lna+

1

lna

≤-2，
∴-（lna+

1

lna

）≤-2或-（lna+

1

lna

）≥2，
∴

yN

yM

=-lna+1-

1

lna

的范圍是（-∞，-1]∪[3，+∞）．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查基本不等式的運(yùn)用，屬于中檔題．