Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知⊙M經(jīng)過(guò)點(diǎn)F₁（0，-c），F(xiàn)₂（0，c），A（c，0）三點(diǎn)，其中c＞0．
（1）求⊙M的標(biāo)準(zhǔn)方程（用含c的式子表示）；
（2）已知橢圓+=1（a＞b＞0）（其中a²-b²=c²）的左、右頂點(diǎn)分別為D、B，⊙M與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A、C，且A點(diǎn)在B點(diǎn)右側(cè)，C點(diǎn)在D點(diǎn)右側(cè)，求橢圓離心率的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）可用待定系數(shù)法，設(shè)圓的一般方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，將已知三點(diǎn)坐標(biāo)代入解方程組即可，最后再轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）分別求出A、C、B、D的坐標(biāo)，由已知A點(diǎn)在B點(diǎn)右側(cè)，C點(diǎn)在D點(diǎn)右側(cè)，得關(guān)于a、b、c的不等式，即可解得橢圓離心率的取值范圍
解答：解：（1）設(shè)⊙M的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，
則由題設(shè)得解得
∴⊙M的方程為x²+y²-cx-c²=0，
其標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-c）²+y²=c²
（2）⊙M與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為A（c，0），C（-c，0），又B（b，0），D（-b，0），
由題設(shè)即
所以c²＜b²＜3c²，c²＜a²-c²＜3c²，
解得＜＜，即＜e＜．
∴橢圓離心率的取值范圍為（，）．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其求法，橢圓的幾何性質(zhì)，橢圓離心率的求法，待定系數(shù)法的使用和關(guān)于a、b、c的不等式的建立是解決本題的關(guān)鍵