Question

如圖，四面體ABCD中，△ABD和△BCD均為等邊三角形，BD=2，O是BD的中點，且AO⊥平面BCD．
（1）求二面角A-BC-D的大�。ńY果用反三角函數(shù)表示）；
（2）求點O到平面ACD的距離．

Answer 1

解：（1）因為△ABD和△BCD都是等邊三角形，O是BD中點，所以AO⊥BD，CO⊥BD，以O為原點，OB、OC、OA所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系．…（1分）
則O（0，0，0），，B（1，0，0），，D（-1，0，0），…（2分）
因為AO⊥平面BCD，所以平面BCD的一個法向量為，…（3分），，
設平面ABC的一個法向量為，
則，，所以，，
即，令z=1，得，y=1，所以，…（5分）
設與的夾角為θ，則，…（6分）
由圖形可知，二面角A-BC-D為銳角，
所以二面角A-BC-D的大小為．…（7分）
（2）設平面ACD的一個法向量為，則，，
又，，…（8分）
所以，由，得，令，則v=1，w=1，
故，…（10分）
因為，，…（12分）
所以點O到平面ACD的距離為．…（14分）
分析：（1）以O為原點，OB、OC、OA所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系，分別求出平面BCD，面ABC的一個法向量，利用兩個發(fā)向量夾角求解．
（2）求出平面ACD的一個法向量，點O到平面ACD的距離 為在方向上投影的絕對值．
點評：本題考查二面角、空間距離大小計算．考查空間想象能力、邏輯思維能力和運算能力．