Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

a

•

b

，其中

a

=（2cosx，1），

b

=（cosx，

3

sin2x），x∈R
（1）求f（x）的表達(dá)式，并給出一個(gè)f（x）取得最大值時(shí)的x的值；
（2）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）若關(guān)于x的方程f（x）-m=0（x∈[-

π

4

，

π

3

]有解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由已知中

a

=（2cosx，1），

b

=（cosx，

3

sin2x），函數(shù)f（x）=

a

•

b

，根據(jù)平面向量的數(shù)量積公式，結(jié)合降冪公式（二倍角公式逆用）及輔助角公式，我們易將函數(shù)的解析式化為正弦型函數(shù)的形式，進(jìn)而根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)，我們可以求出函數(shù) f（x）的最大值及取得最大值時(shí)的x的值；
（2）由（1）中函數(shù)的解析式，結(jié)合正弦型函數(shù)的單調(diào)性，我們易求出函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）由（1）中函數(shù)的解析式，結(jié)合正弦型函數(shù)的單調(diào)性，得到函數(shù)的最值，進(jìn)而得到實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答：解：（1）f（x）=

a

•

b

=（2cosx，1）（cosx，

3

sin2x）
=1+cos2x+

3

sin2x=2sin（2x+

π

6

）+1．        
∵-1≤sin（2x+

π

6

）≤1，
∴f_max=3，此時(shí)x+

π

6

=

π

2

+2kπ
故一個(gè)f（x）取得最大值時(shí)的x的值為x=

π

3

；
（2）由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，（k∈Z）
∴-

π

3

+kπ≤x≤

π

6

+kπ
函數(shù)遞增區(qū)間為[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ]，（k∈Z）；
（3）∵x∈[-

π

4

，

π

3

]，∴2x+

π

6

∈[-

π

3

，

5π

6

]
故-

3

2

≤sin（2x+

π

6

）≤1
此時(shí)2sin（2x+

π

6

）+1∈[1-

3

，3]
故m∈[1-

3

，3]時(shí)方程有解．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，正弦型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，函數(shù)圖象的平移變換法則，其中根據(jù)平面向量的數(shù)量積公式和輔助角公式，求出函數(shù)的解析式是解答本題的關(guān)鍵．