Question

已知向量

OA

=(2cos2x，1)，

OB

=(1，

3

sin2x-a)，x∈[0，

π

2

]，a為實(shí)常數(shù)，y=

OA

•

OB

（1）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式f（x）；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）=af（x），且g（x）的最大值是

9

4

，求a值及此時的函數(shù)g（x）的單調(diào)增區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式，結(jié)合三角恒等變換的公式加以計算，即可得到f(x)=2sin(2x+

π

6

)-a+1，其中x∈[0，

π

2

]；
（2）由題意，得g(x)=2asin(2x+

π

6

)-a2+a，x∈[0，

π

2

]．因?yàn)?span id="9dvgzt2" class="MathJye">

π

6

≤2x+

π

6

≤

7π

6

，所以sin(2x+

π

6

)的最大值為1且最小值為-

1

2

．由此分a的正負(fù)進(jìn)行討論，結(jié)合題意建立關(guān)于a的方程，解出符合題意的a值為

3

2

，得到
g(x)=3sin(2x+

π

6

)-

3

4

，再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間公式即可算出此時的函數(shù)g（x）的單調(diào)增區(qū)間．

解答：解（1）∵y=

OA

•

OB

，向量

OA

=(2cos2x，1)，

OB

=(1，

3

sin2x-a)，
∴y=2cos2x+

3

sin2x-a…（1分）
化簡，可得f(x)=2sin(2x+

π

6

)-a+1，x∈[0，

π

2

]…（4分）
（2）由（1），可得g(x)=2asin(2x+

π

6

)-a2+a，x∈[0，

π

2

]，
∵

π

6

≤2x+

π

6

≤

7π

6

，∴-

1

2

≤sin(2x+

π

6

)≤1，…（6分）
①當(dāng)a＞0時，sin(2x+

π

6

)=1，g(x)max=2a-a2+a=

9

4

，
解之得a=

3

2

； …（8分）
②當(dāng)a=0時，g（x）=0，不合題意，舍去；  …（9分）
③當(dāng)a＜0時，sin(2x+

π

6

)=-

1

2

，g(x)max=-a-a2+a=

9

4

，無解  …（10分）
綜上所述，a=

3

2

且g（x）表達(dá)式為g(x)=3sin(2x+

π

6

)-

3

4

，x∈[0，

π

2

]，
再令2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，…（12分）
解之得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈Z，
因?yàn)?span id="e67k1o6" class="MathJye">x∈[0，

π

2

]，所以取k=0算出交集，可得函數(shù)g（x）的單調(diào)增區(qū)間為[0，

π

6

]…（14分）

點(diǎn)評：本題給出向量的數(shù)量積，得到正弦型三角函數(shù)表達(dá)式，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與最值．著重考查了向量的數(shù)量積運(yùn)算、三角恒等變換公式和三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識，考查了分類討論數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．