Question

（2012•寧城縣模擬）已知函數(shù)f（x）=ax+xlnx的圖象在點(diǎn)x=e（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）處的切線斜率為3．
（1）求實(shí)數(shù)a的值；
（2）證明：當(dāng)x＞1時(shí)，

f(x)

x-1

＞3恒成立．

Answer 1

分析：（1）求導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)f（x）=ax+xlnx的圖象在點(diǎn)x=e（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）處的切線斜率為3，可得f′（e）=3，從而可求實(shí)數(shù)a的值；
（2）構(gòu)造g(x)=

f(x)

x-1

=

x+xlnx

x-1

，求導(dǎo)函數(shù)可得g′(x)=

x-lnx-2

(x-1)2

，令h（x）=x-lnx-2（x＞1），確定h（x）=0在（1，+∞）上存在唯一實(shí)根x₀，且滿足x₀∈（3，4），進(jìn)而可得g(x)=

x+xlnx

x-1

在（1，x₀）上單調(diào)遞減，在（x₀，+∞）上單調(diào)遞增，求出最小值，即可得證．

解答：（1）解：求導(dǎo)數(shù)可得f′（x）=a+lnx+1
∵函數(shù)f（x）=ax+xlnx的圖象在點(diǎn)x=e（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）處的切線斜率為3
∴f′（e）=3，∴a+lne+1=3，∴a=1，-----------------------（3分）
（2）證明：由（1）知，f（x）=x+xlnx，
令g(x)=

f(x)

x-1

=

x+xlnx

x-1

，則g′(x)=

x-lnx-2

(x-1)2

，-----------------------（5分）
令h（x）=x-lnx-2（x＞1），則h′(x)=1-

1

x

=

x-1

x

＞0，
所以函數(shù)h（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增．…（7分）
因?yàn)閔（3）=1-ln3＜0，h（4）=2-2ln2＞0，
所以方程h（x）=0在（1，+∞）上存在唯一實(shí)根x₀，且滿足x₀∈（3，4）．
當(dāng)1＜x＜x₀時(shí)，h（x）＜0，即g'（x）＜0，
當(dāng)x＞x₀時(shí)，h（x）＞0，即g'（x）＞0，…（9分）
所以函數(shù)g(x)=

x+xlnx

x-1

在（1，x₀）上單調(diào)遞減，在（x₀，+∞）上單調(diào)遞增．
所以[g(x)]min=g(x0)=

x0(1+lnx0)

x0-1

=

x0(1+x0-2)

x0-1

=x0．
因?yàn)閤₀＞3，所以x＞1時(shí)，

f(x)

x-1

＞3恒成立     …（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，解題時(shí)構(gòu)造函數(shù)是關(guān)鍵．