Question

已知函數(shù)f(x)=

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x3-x2+3，x∈[-1，t]（t＞-1），函數(shù)g(t)=

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(t-2)2，t＞-1
（Ⅰ）當(dāng)0＜t＜1時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和最大、最小值；
（Ⅱ）求證：對(duì)于任意的t＞-1，總存在x₀∈（-1，t），使得x=x₀是關(guān)于x的方程f′（x）=g（t）的解；并就k的取值情況討論這樣的x₀的個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出f′（x）大于0，求出t的范圍得到遞增區(qū)間；小于0求出t的范圍得到遞減區(qū)間；討論函數(shù)的增減性得到函數(shù)的最大為f（0），最小為f（-1）；
（Ⅱ）求出f′（x）將其和g（t）代入到方程f′（x）=g（t）中得到方程，令p(x)=x2-2x-

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(t-2)2，分當(dāng)t＞5或-1＜t＜2時(shí)和當(dāng)2＜t＜5時(shí)，并且考慮特殊值t=2或5，討論p（x）=0這個(gè)方程解的個(gè)數(shù)即可知道這樣的x₀的個(gè)數(shù)．

解答：解：（Ⅰ）因?yàn)閒′（x）=x²-2x=x（x-2）
由f′（x）＞0?x＞2或x＜0；由f′（x）＜0?0＜x＜2，
所以當(dāng)0＜t＜1時(shí)，f（x）在（-1，0）上遞增，在（0，t）上遞減
因?yàn)?span id="nvlzb7j" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">f(-1)=

5

3

，f（0）=3，f(2)=

8

3

-4+3=

5

3

，
而f（0）＜f（t）＜f（2），
所以當(dāng)x=-1時(shí)，函數(shù)f（x）取最小值f(-1)=

5

3

，
當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)f（x）取最大值f（0）=3，
（Ⅱ）因?yàn)閒′（x）=x²-2x，所以x2-2x=

1

3

(t-2)2，
令p(x)=x2-2x-

1

3

(t-2)2，
從而把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明方程p(x)=x2-2x-

1

3

(t-2)2=0在（-1，t）上有解，
并討論解的個(gè)數(shù)
因?yàn)?span id="rf3zljh" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">p(-1)=3-

1

3

(t-2)2=-

1

3

(t+1)(t-5)，p(t)=t(t-2)-

1

3

(t-2)2=

2

3

(t+1)(t-2)，
所以
①當(dāng)t＞5或-1＜t＜2時(shí)，p（-2）•p（t）＜0，所以p（x）=0在（-2，t）上有解，且只有一解
②當(dāng)2＜t＜5時(shí)，p（-2）＞0且p（t）＞0，但由于p(0)=-

1

3

(t-2)2＜0，所以p（x）=0在（-2，t）上有解，且有兩解
③當(dāng)t=2時(shí)，p（x）=x²-2x=0?x=0或x=2，所以p（x）=0在（-2，t）上有且只有一解x=0；
當(dāng)t=5時(shí)，p（x）=x²-2x-3=0?x=-1或x=3，所以p（x）=0在（-1，5）上也有且只有一解x=3
綜上所述，對(duì)于任意的t＞-1，總存在x₀∈（-1，t），滿足f'（x₀）=g（t），且當(dāng)t≥5或-1＜t≤2時(shí)，有唯一的x₀適合題意；
當(dāng)2＜t＜5時(shí)，有兩個(gè)x₀適合題意．

點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的增減性，利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，以及函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用能力．