Question

（本小題滿分14分）
如圖，沿等腰直角三角形的中位線，將平面折起，平面⊥平面，得到四棱錐，，設(shè)、的中點分別為、，


（1）求證：平面⊥平面
（2）求證： 
（3）求平面與平面所成銳二面角的余弦值。

Answer 1

(1)見解析(2)見解析(3)

試題分析：（1）證明:平面平面,交線為, ,   
平面.
, 兩兩互相垂直，
以為原點建立空間直角坐標(biāo)系,                                               ……2分
因為為等腰直角三角形，且，則，
則,，，，.
,,,
,,
平面,又平面
平面⊥平面.                                                  ……5分
（2）分別為的中點,,.
設(shè)平面的法向量,由于
則  即 ,,令，則, .
, 即//平面.                                  ……9分
（3）由（2）可知平面的法向量 ，由于平面的法向量為,
設(shè)平面與平面所成銳二面角為，則
.                                                ……14分
點評：求二面角最常用的方法就是分別求出二面角的兩個面所在平面的法向量，然后通過兩個平面的法向量的夾角得到二面角的大小，如果題目中沒有說明，則要注意結(jié)合實際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角.