Question

某企業(yè)有一條價(jià)值為m萬(wàn)元的生產(chǎn)流水線(xiàn)，要提高其生產(chǎn)能力，提高產(chǎn)品的產(chǎn)值，就要對(duì)該流水線(xiàn)進(jìn)行技術(shù)改造，假設(shè)產(chǎn)值y萬(wàn)元與投入的改造費(fèi)用x萬(wàn)元之間的關(guān)系滿(mǎn)足：①y與（m-x）x²成正比；②當(dāng)x=

m

2

時(shí)，y=

m3

2

；③0≤

x

4(m-x)

≤a，其中a為常數(shù)，且a∈[0，2]
（1）設(shè)y=f（x），求出f（x）的表達(dá)式；
（2）求產(chǎn)值y的最大值，并求出此時(shí)x的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)y與（m-x）x²成正比，建立關(guān)系式，再根據(jù)②求出比例系數(shù)，得到函數(shù)f（x）的表達(dá)式，再求函數(shù)的定義域時(shí)，要注意條件③的限制性．
（2）本題為含參數(shù)的三次函數(shù)在特定區(qū)間上求最值，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性即可求出最大值，注意分類(lèi)討論．

解答：解：（1）∵y與（m-x）x²成正比，∴設(shè)y=f（x）=k（m-x）x²，又x=

m

2

時(shí)，y=

m3

2

∴解得k=4，從而有y=4（m-x）x²…（2分）
由0≤

x

4(m-x)

≤a解得0≤x≤

4am

1+4a

故f（x）=4（m-x）x²(0≤x≤

4ma

1+4a

)…（4分）
（2）∵f（x）=4mx²-4x³，∴f'（x）=4x（2m-3x）
令f'（x）=0解得x₁=0，x2=

2

3

m…（5分）
（�。� 若，即

1

2

≤a≤2，當(dāng)x∈（0，

2

3

m)時(shí)，f'（x）＞0
所以f（x）在[0，

2

3

m]上單調(diào)遞增；
當(dāng)

2m

3

＜x＜

4am

1+4a

時(shí)，f'（x）＜0，由于f（x）在[

2m

3

，

4am

1+4a

]上單調(diào)遞減，
故當(dāng)x=

2

3

m時(shí)，f（x）取得最大值f(

2

3

m)=

16

27

m3…（8分）
（ⅱ） 若

4am

1+4a

＜

2

3

m，即0≤a＜

1

2

時(shí)，當(dāng)x∈（0，

4am

1+4a

)時(shí)，
由于f'（x）＞0，∴f（x）在[0，

4am

1+4a

]上單調(diào)遞增，
故f(x)max=f(

4am

1+4a

)=

64a2m3

(1+4a)3

…（11分）
綜上可知：0≤a＜

1

2

時(shí)，產(chǎn)值y的最大值為

64a2m3

(1+4a)3

，此時(shí)投入的技術(shù)改造費(fèi)用為

4am

1+4a

；當(dāng)

1

2

≤a≤2時(shí)，產(chǎn)值y的最大值為

16

27

m3，此時(shí)投入的技術(shù)改造費(fèi)用為

2

3

m．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的應(yīng)用問(wèn)題，函數(shù)的解析式、利用導(dǎo)數(shù)研究三次函數(shù)的最值及分類(lèi)討論思想，屬于中檔題．