Question

(本小題滿分12分)

如圖，在正四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁中，AA₁=AB，點(diǎn)E、M分別為A₁B、C₁C的中點(diǎn)，過點(diǎn)A₁，B，M三點(diǎn)的平面A₁BMN交C₁D₁于點(diǎn)N.

（Ⅰ）求證：EM∥平面A₁B₁C₁D₁；

（Ⅱ）求二面角B—A₁N—B₁的正切值.

Answer 1

（Ⅱ）

解析:

（Ⅰ）證明：取A₁B₁的中點(diǎn)F，連EF，C₁F   ∵E為A₁B中點(diǎn)   ∴EF∥ BB₁     又∵M(jìn)為CC₁中點(diǎn) ∴EF∥ C₁M∴四邊形EFC₁M為平行四邊形  ∴EM∥FC₁ 

而EM 平面A₁B₁C₁D₁ . FC₁平面A₁B₁C₁D₁ .

∴EM∥平面A₁B₁C₁D₁………………6分  

（Ⅱ）由⑴EM∥平面A₁B₁C₁D₁ 

EM平面A₁BMN，平面A₁BMN∩平面A₁B₁C₁D₁=A₁N  

∴A₁N// EM// FC₁   ∴N為C₁D₁ 中點(diǎn)，過B₁作B₁H⊥A₁N于H，連BH，根據(jù)三垂線定理  BH⊥A₁N

∠BHB₁即為二面角B—A₁N—B₁的平面角……8分

設(shè)AA₁=a， 則AB=2a，  ∵A₁B₁C₁D₁為正方形               

∴A₁H=    又∵△A₁B₁H∽△NA₁D₁

∴B₁H=，在Rt△BB₁H中，

tan∠BHB₁=即二面角B—A₁N—B₁的正切值為……12分