Question

在△ABC中，a、b、c分別是角∠A、∠B、∠C所對的邊．已知4sinBcos2

B

2

=sin2B+

3

．
（Ⅰ）求∠B的大小；
（Ⅱ）若a=4，△ABC的面積為5

3

，求b的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把已知的等式左邊利用二倍角的余弦函數公式化簡，右邊利用二倍角的正弦函數公式化簡，即可求出sinB的值，進而求出B的度數；
（Ⅱ）利用三角形的面積公式表示出△ABC的面積，把a，sinB的值代入即可求出c的值，然后由a，c及cosB的值，利用余弦定理即可求出b的值．

解答：解：（Ⅰ）由已知4sinBcos2

B

2

=sin2B+

3

，
可得：2sinB（cosB+1）=2sinBcosB+

3

，即2sinB=

3

，
解得：sinB=

3

2

．
所以，B=

π

3

或B=

2π

3

；（5分）
（Ⅱ）由a=4，sinB=

3

2

，代入

1

2

acsinB=5

3

得：c=5，
由余弦定理得：b²=16+25-2×4×5×cosB=41-40cosB，
當B=

π

3

時，b=

41-40× 1 2

=

21

．
當B=

2π

3

時，b=

41-40×(- 1 2 )

=

61

．（10分）

點評：此題考查學生靈活運用二倍角的正弦、余弦函數公式化簡求值，靈活運用同角三角函數間的基本關系及特殊角的三角函數值化簡求值，靈活運用三角形的面積公式及余弦定理化簡求值，是一道中檔題．