Question

已知有兩個(gè)數(shù)列{a_n}，{b_n}，它們的前n項(xiàng)和分別記為S_n，T_n，且數(shù)列{a_n}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，S_m=26，前m項(xiàng)中數(shù)值最大的項(xiàng)的值為18，S_2m=728，又
（I）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式．
（II）若數(shù)列{c_n}滿足c_n=b_na_n，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和P_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）數(shù)列{a_n}，建立數(shù)列{a_n}中關(guān)于首項(xiàng)a_{1 ^和公比}q的方程組，解方程組得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式（但不要忘記對(duì)公比為q是否等于1的討論），利用求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）可直接利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和P_n
解答：（本小題滿分14分）
解：（Ⅰ）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，∵a_n＞0，∴q＞0
若q=1時(shí)  S_m=ma₁S_2m=2ma₁，此時(shí)2S_m=S_2m，而已知  S_m=26，S_2m=728，∴2S_m≠S_2m，∴q=1不成立…（1分）
若q≠1，由得 …（2分）
（1）÷（2）得：1+q^m=28∴q^m=27…（3分）
∵q^m=27＞1∴q＞1   
∴前m項(xiàng)中a_m最大∴a_m=18…（4分）
由 得，∴    即
把及q^m=27代入（1）式得   
解得q=3  
 把q=3代入得a₁=2，所以 …（7分）
由
（1）當(dāng)n=1時(shí) b₁=T₁=2
（2）當(dāng) n≥2時(shí) =4n-2
∵b₁=2適合上式∴b_n=4n-2…（9分）
（Ⅱ）由（1）得 
記，d_n的前n項(xiàng)和為Q_n，顯然P_n=4Q_n…①∴…..②
…（11分）
①-②得：-2Q_n=1+2×3¹+2×3²+2×3³+…2×3^n-1-（2n-1）×3ⁿ
==-2-（2n-2）×3ⁿ…（13分）
∴，
即…（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題是一道很好的數(shù)列綜合題，是歷年高考中常考的一類數(shù)列題．對(duì)解題方法的熟練應(yīng)用要求較高．