【題目】已知函數(shù), , 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).

(1)試討論函數(shù)的極值情況;

(2)證明:當(dāng)時(shí),總有.

【答案】(1)見解析;(2)見解析.

【解析】試題分析:(1)求定義域內(nèi)的所有根;判斷的根左右兩側(cè)值的符號(hào)即可得結(jié)果;(2)當(dāng)時(shí), ,研究函數(shù)的單調(diào)性,兩次求導(dǎo),可證明內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù),進(jìn)而可得當(dāng)時(shí), ,即可得結(jié)果.

試題解析:(1)的定義域?yàn)?/span>,

.

①當(dāng)時(shí), ,故內(nèi)單調(diào)遞減, 無極值;

②當(dāng)時(shí),令,得;令,得.

處取得極大值,且極大值為, 無極小值.

(2)證法一:當(dāng)時(shí), .

設(shè)函數(shù) ,

.記,

.

當(dāng)變化時(shí), , 的變化情況如下表:

由上表可知,

,

,知

所以,

所以,即.

所以內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù).

所以當(dāng)時(shí), .

即當(dāng)時(shí), .

所以當(dāng)時(shí),總有.

證法二:當(dāng)時(shí), .

因?yàn)?/span>,故只需證.

當(dāng)時(shí), 成立;

當(dāng)時(shí), ,即證.

,則由,得.

內(nèi),

內(nèi), ,

所以.

故當(dāng)時(shí), 成立.

綜上得原不等式成立.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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